Eğitim Öğretim İle İlgili Belgeler > Konu Anlatımlı Dersler > Matematik Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar

DETERMİNANT, ÖZELLİKLERİ, MATRİS İLİŞKİSİ (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER, SORULAR)

 

DETERMİNANTIN ÖZELLİKLERİ

 

Özellik

 

=> Bir satır veya bir sütunun tüm elemanları sıfır olan matrislerin determinantı sıfırdır.

=> Herhangi iki satır veya iki sütunun elemanları eşit olan matrisin determinantı sıfırdır.

=> Herhangi iki satır veya iki sütunun elemanları orantılı olan matrisin determinantı sıfırdır.

=> Herhangi iki satır veya iki sütunun yerleri değişirse determinantının işareti değişir.

=> Bir kare matrisin determinantı ile transpozunun determinantı eşittir.

=> Kare matrislerin çarpımlarının determinantı, bu matrislerin determinantları çarpımına eşittir.

det(A × B) = detA × detB

=> Bir kare matrisin kuvvetinin determinantı, determinantının kuvvetine eşittir.

detAn = (detA)n

Bir kare matrisin çarpmaya göre tersinin determinantı, determinantının tersine eşittir.

=> A = [aij|m×n matrisinin k ile çarpımının determinantı,
A nın determinantının kn ile çarpımına eşittir.

=> Bir kare matrisin bir satır ve bir sütunun tüm elemanları
k ile çarpılırsa, elde edilen matrisin determinantı ilk matrisin determinantının k ile çarpımına eşittir.

=> Bir matrisin herhangi bir satırını k ile çarpıp diğer bir satıra ekleyince veya herhangi bir sütununu k ile çarpıp diğer bir sütuna ekleyince determinantının değeri değişmez.

=> Sadece bir satır veya bir sütun elemanları farklı olan matrislerin determinantları toplamı, diğer satır veya sütunları aynı olan ve farklı sütunu farklı sütunların toplamı kadar olan yeni matrisin determinantına eşittir.

 

 

A. MATRİSİN TANIMI

 

şeklinde, bir cismin elemanlarının sıralı bir tablosuna m ´ n türünde
(m tane satır ve n tane sütun) bir matris denir.

Matrisler büyük harfle gösterilir. Tablodaki yatay sıralara satır, düşey sıralara sütun adı verilir.

elemanları, A matrisinin 1. satırını oluşturmaktadır.

elemanları, A matrisinin 3. sütununu oluşturmaktadır.

Burada aij genel terimi gösterir. i, satır numarası ve j, sütun numarasıdır.

Bu matrisin m kadar satırı, n kadar sütunu vardır.

 

B. MATRİS ÇEŞİTLERİ

1. Sıfır Matrisi

Bütün elemanları sıfır olan matrise sıfır matrisi denir.

 

2. Kare Matrisi

Satır ve sütun sayısı eşit olan matrise kare matris denir.

A matrisi (4 ´ 4 boyutlu) 4 satırlı ve 4 sütunlu bir kare matristir.

 

3. Birim Matris

Bütün köşegen elemanları 1 ve diğer bütün elemanları sıfır olan kare matrislere birim matris denir ve birim matris I harfi ile gösterilir. Yandaki matris 4 ´ 4 boyutlu birim matristir.

 

C. MATRİSLERİN EŞİTLİĞİ

Aynı türden iki matrisin, bütün aynı indisli terimleri eşit ise, bu matrisler eşittir. Bu ifadenin tersi de doğrudur. Yani, eşit iki matrisin, aynı indisli bütün terimleri eşittir.

 

D. MATRİSİN DEVRİĞİ (TRANSPOZU)

Bir matrisin devriği (transpozu) satırların sütun, sütunların satır haline getirilmesiyle elde edilen matristir.

Bir A matrisinin transpozu AT ya da Ad biçimlerinden biri ile gösterilebilir.

 

E. MATRİSİN REEL SAYI İLE ÇARPIMI

Bir matris c gibi bir sayı ile çarpılınca matrisin bütün elemanları c ile çarpılır.

 

F. MATRİSLERİN TOPLAMI

Aynı türden matrisler toplanır. Bunun için, aynı indisli terimler toplanır.

 

G. MATRİSLERİN FARKI

Aynı türden matrisler çıkarılır. Bunun için, aynı indisli terimler çıkarılır.

Özellik

1. A + B = B + A (Değişme özelliği vardır.)

2. A + (B + C) = (A + B) + C (Birleşme özelliği vardır.)

3. A + O = O + A = A (Sıfır matrisi toplamaya göre birim (etkisiz) elemandır.)

4. A + (–A) = O (–A matrisi A matrisinin toplamaya göre tersidir.)

5. (A + B)T = AT + BT

6. (A – B)T = AT – BT

 

H. İKİ MATRİSİN ÇARPIMI

A ve B matrislerinin çarpılabilmesi için A matrisinin sütun sayısı,
B matrisinin satır sayısına eşit olmalıdır.

m ´ n türünde A matrisi ile n ´ p türünde B matrisinin çarpımı m ´ p türünde olur.

Çarpma işlemi (bilgi yelpazesi.net) birinci matrisin satırları ile ikinci matrisin sütunları çarpılıp toplanarak yapılır.

 

Özellik

 

1. A × B ¹ B × A (Değişme özelliği yoktur. Ancak bazı özel durumlarda eşitlik olabilir.)

A × I = I × A

Am × An = Am + n

A–1 × A = A × A–1

2. A × (B × C) = (A × B) × C (Birleşme özelliği vardır.)

3. A × (B + C) = A × B + A × C

(B + C) × A = B × A + C × A

Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan ve soldan dağılma özelliği vardır.

4. A × B = O ise A = O veya B = O olması gerekmez.

5. A × I = I × A = A (I matrisi çarpmaya göre etkisiz elemandır.)

6. A × B = B ise A = I olması gerekmez.

7. (A × B)T = BT × AT

(A × B × C)T = CT × BT × AT

 

 

I. KARE MATRİSİN KUVVETİ

A bir kare matrisi I birim matris ve m, n pozitif tam sayı olmak üzere, matrisin kuvveti aşağıdaki biçimde ifade edilir.

 

olur.

Birim matrisin bütün kuvvetleri yine birim matristir.

 

 

Kural

 

2 × 2 boyutundaki bazı özel matrislerin büyük kuvvetleri karşımıza çıkabilir.

Bu özel durumların başlıcaları şunlardır:

 

J. MATRİSİN DETERMİNANTI

Determinant, kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur.

Determinant fonksiyonunun, kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin determinantı denir.

A matrisinin determinantı, detA veya |A| biçiminde gösterilir.

|A|, matrislerde mutlak değer anlamına gelmez. |A| sıfır veya negatif de olabilir.

 

Kural

 

 

 

1. Sarrus Kuralı

A = [aij]3×3 biçimindeki matrislerin determinantını bulmak için Sarrus kuralı kullanılır.

3 ´ 3 türündeki bir matrisin determinantı şöyle bulunur:

1. İlk iki satır sırasıyla alta birer defa daha yazılır.

2. Köşegeni oluşturan a11, a22, a33 çarpılır; çarpım sağa yazılır.

3. Köşegenin hemen altındaki a21, a32, a13 çarpılır; çarpım sağa yazılır.

4. Aynı yaklaşımla a31, a12, a23 çarpılır; çarpım sağa yazılır.

5. Sağa yazılan üç çarpımın toplamı T1 olsun

6. Diğer köşegeni oluşturan a13, a22, a31 çarpılır; çarpım sola yazılır.

7. Diğer köşegenin hemen altındaki a23, a32, a11 çarpılır; çarpım sola yazılır.

8. Aynı yaklaşımla a33, a12, a21 çarpılır; çarpım sola yazılır.

9. Sola yazılan üç çarpımın toplamı T2 olsun,

 

10. A matrisinin determinantı: detA = T1 – T2 dir.

 

2. İşaretli Minör (Kofaktör)

Bir kare matriste aij elemanının minörü Mij olsun.

aij elemanının işaretli minörü (kofaktörü):

 

 

Kural

 

matrisi verilsin.

Bir matrisin determinantı, bu matrisin herhangi bir satır veya sütun elemanları ile bu elemanların işaretli minörlerinin çarpımlarının toplamına eşittir.

 

 

K. EK MATRİS (ADJOİNT MATRİS)

Bir matrisin elemanları yerine, o elemanların işaretli minörlerinin yazılıp transpozu alınarak elde edilen matrise ek matris denir ve Ek(A) biçiminde gösterilir.

 

L. BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ

a = [Aij]m×m biçimindeki kare matrislerin, çarpmaya göre tersini A–1 biçiminde gösteririz.

Determinantı sıfırdan farklı matrislerin tersi vardır.

Kural

 

 

 

 

Özellik

 

 

Şeklindedir…

 

MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR
" SAYFASINA GERİ DÖNMEK İÇİN
>>>TIKLAYIN<<<

KONU ANLATIMLI DERSLER " SAYFASINA GERİ DÖNMEK İÇİN
>>>TIKLAYIN<<<

MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ TEST SORULARI SORU BANKASI "
SAYFASINA GEÇMEK İSTERSENİZ
>>>TIKLAYIN<<<

MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ YAZILI SORULARI "
SAYFASINA GEÇMEK İSTERSENİZ
>>>TIKLAYIN<<<

"
EĞİTİM ÖĞRETİM İLE İLGİLİ BELGELER
” SAYFASINI GÖRMEK İSTERSENİZ
>>>TIKLAYIN<<<

Yorumlar

....

9. **Yorum**
->Yorumu: şahane bir site burayı sevdimm 
->Yazan: Buse. Er 

8. **Yorum**
->Yorumu: SIZIN SAYENIZDE YÜKSEK BIR NOT ALDIM SIZE TESSEKÜR EDIYORUM...
->Yazan: sıla

7. **Yorum**
->Yorumu: valla bu site çok süper .Bu siteyi kuran herkimse Allah razi olsun tüm ödevlerimi bu siteden yapiyorum.saolun mugladan sevgiler...:).
->Yazan: kara48500..

6. **Yorum**
->Yorumu: çok güzel bir site. kurucularına çok teşekkür ederim başarılarınızın devamını dilerim.
->Yazan: Tuncay.

5. **Yorum**
->Yorumu: ilk defa böyle bi site buldum gerçekten çok beğendim yapanların eline sağlık. 
->Yazan: efe .

4. **Yorum**
->Yorumu: ya valla çok güzel bisi yapmışınız. Çok yararlı şeyler bunlar çok sagolun 
->Yazan: rabia..

3. **Yorum**
->Yorumu: Çok ii bilgiler var teşekkür ederim. Çok süper... Ya bu siteyi kurandan Allah razı olsun ..... süperrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr. Çok iyiydi. isime yaradı. Her kimse bu sayfayı kurduğu için teşekkür ederim 
->Yazan: pınar..

2. **Yorum**
->Yorumu: çok güzel site canım ben hep her konuda bu siteyi kullanıyorum özellikle kullanıcı olmak zorunlu değil ve indirmek gerekmiyor
->Yazan: ESRA..

1. **Yorum**
->Yorumu: Burada muhteşem bilgiler var hepsi birbirinden güzel size de tavsiyeederim. 
->Yazan: Hasan Öğüt.

>>>YORUM YAZ<<<

Adınız:
Yorumunuz:


Yorumunuzda Silmek istediğiniz kelime veya cümle varsa kelimeyi fare ile seçin
ve
delete tuşuna basın...

 


 E Mail
(Zorunlu Değil):