Eğitim Öğretim İle İlgili Belgeler > Konu Anlatımlı Dersler > Matematik Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar

DÖRTGENLER, DÖRTGENLERİN ÇEŞİTLERİ (PARALEL, EŞKENAR DÖRTGENLER), ÖZELLİKLERİ (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)

 

Tanım: Herhangi üçü doğrusal olmayan dört noktanın dört doğru parçasıyla birleştirilmesinden elde dilen çokgene DÖRTGEN denir.

 

A,B,C,D noktalarına dörtgenin köşeleri [AB],[BC],[CD],[DA] doğru parçalarına ise kenarları denir.

 

ABCD dörtgenin kenar uzunluklarını [AB]=a , [BC]=b , [CD]=c , [DA]=d [AC] köşegen uzunluğunu e , [BD] köşegen uzunluğunu ise f ile göstereceğiz.(Şek.1)

 

*Dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 3600’dir.

m(A)+m(B)+m(C)+m(D)=3600

 

*Dörtgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 3600’dir.

m(A’)+m(B’)+m(C’)+m(D’)=3600

 

*Bir dörtgenin aynı kenara bitişik iki açının açıortayları arasındaki açının ölçüsü diğer iki açının ölçüleri toplamının yarısıdır.

 

*Bir dörtgenin karşılıklı iki açısının açıortayları arasındaki açılardan küçüğün ölçüsü, diğer iki açının ölçüleri farkının yarısıdır.

 

*Herhangi bir ABCD dörtgeninde [AC] [DB]= {P} , [AC]=e [BD]=f ise

 

*Herhangi bir ABCD dörtgeninde S1.S3 = S2.S4 tür. (Şek.5)

 

*Bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları bir ın köşeleridir. (Şek.6)

 

 

*Bir dörtgende karşılıklı iki açı dik ise, bu açıların bitişik kenar uzunluklarının kareleri toplamı birbirine eşittir. (Şek.7)

 

İspat: ADC üçgeninde  [AC]2 =[DA]2 + [DC]2

 

ABC üçgeninde   [AC]2 =[AB]2 + [BC]2

 

Buradan;

[AB]2 + [BC]2 = [DC]2 + [DA]2 elde edilir.

 

*Köşegenleri birbirine dik olan bir dörtgende karşılıklı kenar uzunluklarının kareleri toplamı birbirine eşittir. (Şek.8)

 

İspat: AOB üçgeninde [AB]2 = [AO]2 + [BO]2   DOC üçgeninde [DC]2 = [DO]2 + [OC]2 taraf tarafa toplanırsa

[AB]2 + [DC]2 = [AO]2 + [DO]2 +[BO]2 +[OC]2 (1)

 

AOD üçgeninde [AD]2 = [AO]2 + [DO]2   BOC üçgeninde [BC]2 = [BO]2 + [OC]2 taraf tarafa toplarsak

[AD]2 + [BC]2 = [AO]2 +[DO]2 + [BO]2 + [OC]2 (2)

 

(1)   ve  (2) eşitliklerinin sağ taraflarının eşit olduğunu görüyoruz. Öyleyse;

[AB]2 + [CD]2 = [BC]2 + [DA]2

 

*Bir dörtgende karşılıklı iki kenar ile köşegenlerin orta noktaları bir paralel kenarın köşeleridir. Bu paralel kenarın çevresi, dörtgenin diğer iki kenar uzunluğunun toplamı kadardır. (Şek.9)

 

İspat: E,F,G,H sırasıyla [AB],[BD], [CD] ve [AC]’nin orta noktalarıdır.

 

CAB üçgeninde EH // BC        CDB üçgeninde GF // BC  ise EF // GF (1)

 

DAC üçgeninde GH // DA       DAB üçgeninde EF // DA ise GH // EF (2)

 

(1) ve (2)’den EFGH paralel kenar olur. Bu paralel kenarın çevresi de [AD] + [BC] ‘dir.

 

 

*ABCD dışbükey dörtgeninin iç bölgesindeki herhangi bir nokta P ise (Köşegenlerin kesim noktası dışında);

[PA] + [PB] + [PC] + [PD] > [AC] + [BD] ‘dir. (Şek.10)

 

İspat: PAC üçgeninde [PA] + [PC] > [AC] ve PBD üçgeninde [PB] + [PD] > [BD] dir. Taraf tarafa toplarsak

[PA] + [PB] + [PC] + [PD] > [AC] + [BD] bulunur.

 

Not: P noktası (bilgi yelpazesi.net) köşegenlerin kesim noktası ise bu durumda  [PA] + [PB] + [PC] + [PD] = [AC] + [BD] olur.

 

*ABCD dörtgeninin [AC] ve [BD] köşegenlerinin orta noktaları E ve F, [EF]= x ,[BD]= f, [AC]= e ise

 

İspat: A ile F’ yi; F ile de C’ yi birleştirelim.[AF]= m,[FC]= n olsun.

 

(1) ve (2)’den

 

2 (m2+n2)=a2+b2+c2+d2-f2   (3)

 

FAC üçgeninde kenarortay teoremine göre

 

Buradan  4x2 = 2(m2+n2) -e2 yazılabilir.

 

2(m2+n2)   yerine (3)’de bulduğumuz eşitlikle yazarsak 4x2 = a2+b2+c2+d2-f2-e2 olur.

 

 

 

PARALEL KENAR

 

Karşılıklı kenarları birbirine paralel olan dörtgene paralel kenar denir. (Şek.12)

[AB] // [DC] ve [BC] // [AD]

 

Özellikleri:

 

1- Karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir. [AB]=[DC], [AD]=[BC]

 

2-Karşılıklı açıların ölçüleri eşittir. m(A)=m(C), m(B)=m(D)

 

3-Aynı kenara ait bitişik açılar birbirlerinin bütünleridir.

m(A)+m(B)=180,   m(B)+m(C)=180,    m(C)+m(D)=180,        m(D)+m(A)=180

 

4-Köşegenler birbirlerini ortalar.(Şek.13) [AO]=[OC],   [BO]=[OD]’dir.

 

5-Köşegenler paralel kenarı 4 eş alana ayırırlar.

 

*[DC] üzerinde alınan bir P noktasını A ve B ile birleştirdiğimizde elde edilen, PAB’nin alanı ABCD alanının yarısıdır. (Şek.14)

 

İspat: P den BC ye bir paralel çizelim. PE // AD // BC , PEBC bir paralel kenar olur.

 

A(PEB)=A(PBC) (1) ,

 

DAEP paralel kenarında A(PAE)=A(DAP)  (2).

 

(1) ve (2)’yi taraf tarafa toplayalım. A(PEB)+A(PAE)=A(PBC)+A(DAP)    A(PAB)=A(PBC)+A(DAP)

Buradan da

bulunur.

 

*Herhangi bir ABCD paralel kenarında [AF]=[DF], [BE]=[EC] ise [AK[=[KL]=[LC]’dir. (Şek.15)

 

İspat:   AKF ile CKB üçgenleri benzerdir.

 

Aynı şekilde CLE ile ALD üçgenleri de benzerdir.

 

[AF]=[CE] idi . Buradan AKF ile CLE üçgenleri de benzer olur. [AK]=[CL] bulunur. Böylece (1) ve (2)’den [AL]=[KC] [AL]=2[AK]=2[CL] den [AK]=[KL]=[LC] elde edilir.

 

*ABCD paralel kenarında köşegen uzunlukları e ve f, kenar uzunlukları a ve b ise

e2+f2 = 2(a2+b2) ‘dir. (Şek.16)

 

İspat: CAB üçgeninde kenarortay teoremini yazalım.

Buradan da e2+f2 = 2(a2+b2) bulunur.

 

*Bir paralel kenarın kenarlarını aynı yönde hareketle aynı miktarda uzattığımızda elde ettiğimiz dörtgen yine bir paralel kenardır.(Şek.17)

 

ABCD bir paralel kenar, [AA’]=[BB’]=[CC’]=[DD’] ise A’B’C’D’ bir paralel kenardır.

 

İspat: AA’B’ üçgeniyle CC’D’ üçgenleri benzerdir.(A.K.A) dan [A’B’]=[C’D’] olur. CBB’ ile de A’DD’ benzerdir. Buradan da [A’D’]=[C’B’] karşılıklı kenar uzunlukları eşit olan bir dörtgen elde edilir. Bu da paralel kenardır.

 

*ABCD paralel kenarında [EB]=[FC]=[GD]=[HA] ise EFGH dörtgeni bir paralel kenardır.(Şek.18)

 

İspat: AEH ile CGF ve EBF ile GDH üçgenleri benzerdir.(K.A.K)

 

Buradan da [HE]=[FG] ve (bilgi yelpazesi.net) de [EF]=[GH] elde edilir. Bu durum da EFGH bir paralel kenardır.

 

*(Şek.19)’da ABCD bir paralel kenar ise [DE]2=[EF].[EG]’dir.

 

İspat: DAE ile FCE üçgenleri benzerdir.

 

 

Buradan da [DE]2=[FE].[EG] elde edilir.

 

 

*Herhangi bir ABCD paralel kenarında

 

İspat:

*Şekil 21 deki gibi bir ABCD paralel kenarında [AE]=[EB] ve [DF]=[AF] ise

 

İspat:

 

 

 

EŞKENAR DÖRTGEN

 

Kenar uzunlukları birbirine eş olan dörtgene eşkenar dörtgen denir. (Şek.22)

 

*Paralel kenarın tüm özelliklerini taşır.

 

*Köşegenler birbirinin dik olarak ortalar. [AC] ^ [BD] [AO]=[OC] ve  [BO]=[OD]’dir.

 

*Köşegen (bilgi yelpazesi.net) uzunlukları

 

*Köşegenler açıortaydır.

 

*e2+f2 = 4a2 dir.

 

*Eşkenar dörtgenin alanı yükseklikle bir kenarın çarpımıdır. (Şek.23)

 

*Çevresi 4a’dır.

 

*Eşkenar dörtgenin iç bölgesinde alınan bir noktanın tüm kenarlar olan uzaklıkları toplamı 2h kadardır. (Şek.24)

 

[KE]+[KG]+[KF]+[KH]= 2h   ([HF]=[GE]=h )

 

 

“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR " SAYFASINA GERİ DÖNMEK İÇİN
>>>TIKLAYIN<<<

“KONU ANLATIMLI DERSLER " SAYFASINA GERİ DÖNMEK İÇİN
>>>TIKLAYIN<<<

“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ TEST SORULARI SORU BANKASI "
SAYFASINA GEÇMEK İSTERSENİZ
>>>TIKLAYIN<<<

“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ YAZILI SORULARI "
SAYFASINA GEÇMEK İSTERSENİZ
>>>TIKLAYIN<<<

"
EĞİTİM ÖĞRETİM İLE İLGİLİ BELGELER
” SAYFASINI GÖRMEK İSTERSENİZ
>>>TIKLAYIN<<<

Yorumlar

.

39. **Yorum**
->Yorumu: çok güzel bir site proje ödevimi buradan yaptım ve yüz almayı bekliorum
->Yazan: mine..

38. **Yorum**
->Yorumu: çok iyi projem iyi olacak bu site sayesinde.
->Yazan: eda.

->Yazan   : burcu
->Yorumu: sitenizdeki bilgiler çok işime yaeadı hepinize tşk ederim (bilgi yelpazesi ekibi).

->Yazan   : ZeYzOY
->Yorumu: Of müthis bi site çok yardimci oldu performas ödevime çok güzel oLmuss yha :).

->Yazan   : sedef
->Yorumu: performans ödevimde çok yardimci oldu tesekkürler.

->Yazan : danyel can
->Yorumu: valla gardasim biraz karisik amma keyyis.

->Yazan   : ecem
->Yorumu: ben bunu begendim ama çok karisik.

->Yazan : firdes
->Yorumu: geometri ödevim için çok yararli oldu.

->Yazan : mervenur kaya
->Yorumu: iyiiiiiiiiii performans ödevime yardimci oldu okdyyyyyyyyyyy.

->Yazan : emre sahin
->Yorumu: tüm ödevlerimi bu sitede tessekürler.

->Yazan : ramazan
->Yorumu: yorumlar çok iyi anlatimli herkese tavsiye ederim.

->Yazan : egn-gndg
->Yorumu: Çok süper ama çok uzun oLmuss yhaa :).

->Yazan : ada
->Yorumu: mükemmel herkeze tavsiye ederim çok isime yaradi harbiden yha .d.

->Yazan : ...
->Yorumu: hehehehe bende projemi burdanyaptim.

->Yazan : ahu
->Yorumu: çok güzel bilgili bir çok dörtgen var.

->Yazan : sibel
->Yorumu: ben 3 cocuk annesiyim kizimin pers. odevlerini yapiyorum sagolun cok yardimci oldu :).

->Yazan : mine
->Yorumu: çok güzel bir site buradan ders çalisip ödev yapabiliyorum.

->Yazan : tuanna
->Yorumu: çok tesekürler bende performans ve solari burdan buldum....

->Yazan : aysegül
->Yorumu: çok yardimci oldu ama daha fazla olsaydi daha güzel olurdu yinde tesekkür edrim.

>Yazan: halil
>Yorum:
tesekkür ederim performans ödevimi burdan yaptim .

>Yazan: büsra
>Yorum:
tesekkür ederim performans ödevimi burdan yaptim .

>Yazan: EsRaNuR
>Yorum:
BeNcE dE ÇoK GüZeL Bi sItE OlMuS pRoJe öDeViMi bUrDaN YaPtIm VaLLa.... :):):):):):) .

>Yazan: serife
>Yorum:
kesinlikle çok güzel herkese tavsiye ederim .

>Yazan: berke
>Yorum:
çok tesekkürler performans ödevimi buradan yaptim .

>Yazan: esra
>Yorum:
ben performansimi burdan yaptim çok güzel burasi herkese tavsiye ederim :) .

>Yazan: büsra
>Yorum:
bence güzel olmus performans ödevimi buradan yaptim .

>Yazan: seda
>Yorum:
çok güzel olmus ellerinize saglik valla proje ödevimi burdan yapacagim .

>Yazan: nilüfer
>Yorum:
güzel olmus ama isime yarayan bir sey yok :D gene de sagolun .

>Yazan: gaye
>Yorum:
çok tesekkür ederim bu steyi kuranlara çok tesekkürler ödevime çok yardimci oldu .

>Yazan: büsra
>Yorum:
tesekkürler ama daha fazla açiklama olsa daha iyi olur .

>Yazan: onur
>Yorum:
çok gzel olmus dönem ödevime çok yardimci oldu hazirlayan arkadasa tesekkür ederim .

>Yazan: aleyna
>Yorum:
bence bu site çok güzel bi site her seyi faydalaniyoruz tek kelimeyle güzel bi site.

>Yazan: beyza nur ates
>Yorum:
fena degil ama biraz daha açiklamali olsa daha iyi olurdu .

>Yazan: emel
>Yorum:
en güzel bilgiler buradaydi çok güzel bir ödevdi.

>Yazan: tolga giray kavzoglu
>Yorum:
yaaaaaaaa güzel site de biraz daha açiklamali olsa daha iyi olur ibisler.

>Yazan: oflu
>Yorum:
çözülmüs örnek sorularda olsa imis keske.ama çok güseL tesekkürler hazirlayanlara..

>Yazan: merve
>Yorum:
ya aradigimiz seye ulasamiyacakmiyiz?:q ama gene de sag olun..BBY.

>Yazan: Burak KARAMAN
>Yorum:
Proje ödevimi burdan yaptim :D.

>Yazan: buse
>Yorum:
çok güzel ben buna bayildim herkese tavsiye ederim.

>Yazan: GIZEM
>Yorum:
GÜZEL OLMUS AMA SEKILLER YAN YANA DEGILDE SEKIL ARKASINA KONU DIREK ANLATILSAYMIS DAHA IYI OLURMUS BENCE AMA YINEDE ÇOK TESEKKÜRELER..

>>>YORUM YAZ<<<

Adınız:
Yorumunuz:


 




EĞİTİM ÖĞRETİM KONULARI Atasözleri Hikayeleri Özellikleri Belirli Gün ve Haftalar Çocuk Şarkıları - Şarkı Sözleri Hikayelerden Seçmeler İlginç Bilgiler Eğlenceli Bilgiler İllerimiz Ve İlçelerimiz Türkiye Kitap Özetleri Roman Özetleri Konu Anlatımlı Dersler Maniler Manilerden Seçmeler Masal Masallardan Seçmeler Meslek Tanıtımları Meslekler Rehberlik Köşesi Soru Bankası, Test Soruları Şiirler Seçme Güzel Şiirler Tekerleme Tekerlemeler Tiyatro Oyunları, Skeç, Piyes Türküler Türkü Sözleri Yazar Ve Şairlerin Hayatı Yazılı Soruları Arşivi ***Devamını Göster*** KONU ANLATIMLI DERSLER Beden Eğitimi Dersi Konu Anlatımı Bilgi Ve İletişim Teknolojileri Dersi Konu Anlatımı Biyoloji Dersi Konu Anlatımı Coğrafya Dersi Konu Anlatımı Din Kültürü Ve Ahlak Bilgisi Dersi Konu Anlatımı Edebiyat Dersi Konu Anlatımı Eğitim Bilimleri Dersi Konu Anlatımı Felsefe Dersi Konu Anlatımı Fen Bilimleri Dersi Konu Anlatımı Gelişim Ve Öğrenme Dersi Konu Anlatımı Hazreti Muhammed'in Hayatı Dersi Konu Anlatımı İngilizce Dersi Konu Anlatımı Matematik Dersi Konu Anlatımı Muhasebe Dersi Konu Anlatımı Tarih Dersi Konu Anlatımı Türkçe Dersi Konu Anlatımı Uluslar Arası İlişkiler Dersi Konu Anlatımı Vatandaşlık Anayasa İnsan Hakları Dersi Konu Anlatımı ***Devamını Göster*** YAZILI SORULARI YAZILILAR Biyoloji Yazılı Soruları Coğrafya Yazılı Soruları Dil Ve Anlatım Yazılı Soruları Din Kültürü Yazılı Soruları Edebiyat Yazılı Soruları Fen Bilimleri Yazılı Soruları Fizik Yazılı Soruları İngilizce Yazılı Soruları Kimya Yazılı Soruları İnkılap Tarihi Yazılı Soruları Matematik Yazılı Soruları Sosyal Bilgiler Yazılı Soruları Trafik Güvenliği Trafik Ve İlk Yardım Yazılı Soruları Türkçe Yazılı Soruları Vatandaşlık Ve Demokrasi Eğitimi Yazılı Soruları ***Devamını Göster*** SORU BANKASI TEST SORULARI Coğrafya Test Soruları Soru Bankası Din Kültürü Test Soruları Soru Bankası Edebiyat Test Soruları Soru Bankası Fen Bilimleri Test Soruları Soru Bankası İngilizce Test Soruları Soru Bankası İnkılap Tarihi Test Soruları Soru Bankası Matematik Test Soruları Soru Bankası Osmanlı Tarihi Test Soruları Soru Bankası Sosyal Bilgiler Test Soruları Soru Bankası Tarih Test Soruları Soru Bankası TC İnkılap Tarihi Test Soruları Soru Bankası Türkçe Test Soruları Soru Bankası Vatandaşlık Anayasa İnsan Hakları Test Soruları Soru Bankası ***Devamını Göster*** REHBERLİK KÖŞESİ Ders Çalışma Ödev Yapma İş Hayatı Başarısını Arttırma Kişisel Bedensel Gelişim Meslek Tanıtımları Okul Başarısını Arttırma Okuma Alışkanlığı Kazandırma Öğretmenlik Mesleği Sınavlara Hazırlanma Sinirini Engelle ***Devamını Göster*** HAYATIN İÇİNDEN BİLGİLER Cep Telefonu Mesajları İsimler Sözlüğü Pratik Bilgiler Yazıklar Olsun Zararları Sakıncaları ***Devamını Göster*** BİLGİSAYAR OYUNLARI Akıl Zeka Eğitici Oyunlar Araba Yarışı Oyunları Ateş Etme Hedef Vurma Oyunları Beceri Yetenek Oyunları Birleştirme Patlatma Oyunları Boyama Oyunları Dövüş Oyunları Futbol Oyunları Giysi Giydirme Oyunları Komik Eğlenceli Oyunlar Macera Oyunları Mario Oyunları Motosiklet Oyunları Savaş Oyunları Tasarlama Oyunları Yemek Yapma Oyunları ***Devamını Göster*** YEMEK TARİFLERİ MUTFAK Aperatifler Atıştırmalıklar Balık Yemekleri Tarifleri Tarifleri Börek Çörek Tarifleri Çorba Tarifleri Tarifleri Dolma Sarma Tarifleri Diyet Yemekleri Tarifleri Et Yemekleri Kebap Köfte Tarifleri Kek Tarifleri Komposto Tarifleri Kurabiye Tarifleri Pasta Tarifleri Pilav Tarifleri Reçel Tarifleri Salata Garnitür Tarifleri Sebze Yemeği Tarifleri Tatlı Turta Tart Tarifleri Tavuk Yemekleri Tarifleri ***Devamını Göster*** SAĞLIKLI YAŞAM REHBERİ Hastalıklar Çeşitleri Özellikleri Sağlık İçin Minik Notlar Sigaranın Zararları Sigarayı Bırakma Yolları Şifalı Bitkiler Listesi Şifalı Bitki Karışımları ***Devamını Göster***