Eğitim Öğretim İle İlgili Belgeler > Konu Anlatımlı Dersler > Matematik Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar

GEOMETRİK DİZİ, ÖZELLİKLERİ, ÇÖZÜMLERİ (MATEMATİK KONU ANLATIM)

Aritmetik diziyi bir hatırlayalım bakalım. Tüm ardısık terimleri arasındaki farklar sabitti. Yani rastgele bir ilk terim vardı, o ilk terime bir d reel sayısı ekleniyor ve ikinci terim bulunuyordu, daha sonra ikinci terime aynı d sayısı eklenerek üçüncü terim bulunuyordu ve bu böyle devam ediyordu.

Yani aritmetik dizide her terim bir önceki terimin d fazlasıydı. Geometrik dizide de her terim bir önceki terimin d katıdır. Ama biz aritmetik diziyle karısmasın diye geometrik dizide bu sabit sayıyı r’yle gösterecegiz.

Kısacası, geometrik dizilerde ikinci terimi elde etmek için birinci terim kaçla çarpılmıssa, üçüncü terimi bulmak için de ikinci terimi o sayıyla çarpmamız gerekir ve buna böyle devam edersek dizinin tüm terimlerini bulabiliriz. Anlasılan o ki, aritmetik dizide ardısık terimlerin farkları esit ama geometrik dizide ardısık terimlerin oranları esittir.

Herhangi bir terimi, kendinden bir önce gelen terime bölerek buldugumuz bu orana da, yani bir terimi bulmak için bir önceki terimi çarptıgımız r degerine de bu geometrik dizinin ortak çarpanı denir.

Simdi söylediklerimize uyacak sekilde bir geometrik dizi insa etmeye kalkalım. )lk terim canımız ne isterse o olsun. Örnegin 3 olsun. Simdi de bir r reel sayısı uyduralım. Bu da örnegin 2 olsun.

O halde ikinci terim ilk terimin 2 katı olmalı diye ikinci terim 6’dır. Üçüncü terim de ikinci terimin 2 katı olmalıdır, o halde üçüncü terim 12’dir.

Dördüncü terim de üçüncü terimin 2 katı, o halde dördüncü terim 24. Bu oyunu böyle devam ettirerek olusturdugunuz dizinin her terimini bulabilirsiniz.

İste bu yazıda geometrik dizilerin terimleri arasında bir takım iliskiler bularak, hiç aradaki terimleri hesaplamaya gerek kalmadan örnegin yüzüncü terimi hemencecik bulabilecegiz. Dahası ilk 100 terimin toplamını da hemencecik bulabilecegiz.

Sabredin hepsi az sonra. Önce su yaptıgımız geometrik diziyi bir karsımıza alalım. Hatırlarsanız

a₁ = 3, a₂ = 6, a₃ = 12, a₄ = 24 diye bulmustuk.

a₅ = 48 ve a₆ = 96 oldugunu

bulmak da pek zor olmasa gerek. O halde dizimiz

 şeklindedir. Güzel güzel ama bir bakısta dizimizin 100’üncü terimini söylemek o kadar da kolay görünmüyor.

Keşke bir formülümüz olsa ve n yerine 100 yazsak, bize 100’üncü terimi verse degil mi?

Olacak, sabredin. Hatta o formüle de dizinin genel terimi diyecegiz. Aramaya baslayalım o zaman.

diye devam ediyor.

Her terimin 3 diye bir çarpanının oldugunu anladık. Bir de her terimde bir miktar 2 çarpanı var. Kaç tane diye baktıgımızda kaçıncı terimse, ondan 1 eksik sayıda 2 çarpanı oldugunu görüyoruz. O halde dizinin n’ninci terimi yani

 olmalıdır. Aynen aritmetik dizide oldugu gibi dizinin n’ninci terimi genel terimdir.

Simdi baska geometrik diziler arastıralım ve bu dizilerin geometrik olup olmadıklarına karar verelim.

Soru 1.

Dizisi bir geometrik dizi midir? Öyleyse neden, degilse neden oldugunu belirtiniz.

Çözüm:

İlk birkaç ardısık terimin oranlarına bakmak bizi yanıltabilir. (n + 1)’nci terimi n’ninci terime bölerek buldugumuz sayı eger sabit bir reel sayıysa, dizi geometriktir yoksa degildir diyecegiz.

oldugundan a_n+1 = 2ⁿ ve aⁿ = 2_n–1 olur. 1

oldugundan  bir geometrik dizidir. Ortak çarpanı da 2’dir.

Soru 2. (2, 4, 8, … , 2ⁿ, …) bir geometrik dizi midir?

Öyleyse ortak çarpanı kaçtır?

Çözüm: Tabii ki geometrik dizidir. Bunu bir önceki sorudaki gibi

esitliginden anlıyoruz.

Aslında bu noktada bir genelleme yapıp,

seklindeki her dizinin geometrik dizi oldugunu söyleyebiliriz. Ortak çarpanı da r olur.

Soru 3. c, r, p ve k birer reel sayı ve

Olmak üzere

geometrik dizisinin ortak çarpanı kaçtır?

Çözüm:

Soru 4. (3, 3, 3, … , 3, …) bir geometrik dizi midir?

Öyleyse ortak çarpanı kaçtır?

Çözüm: Her terim kendinden bir önce gelen terimin 1 katı oldugundan tabii ki geometrik dizidir.

Bir önceki soruda buldugumuz kuralda c = 1, p = 0 ve k = 0 oldugunu da düsünebilirsiniz.

Soru 5.

bir geometrik dizi midir?

Çözüm:

olduguna bakarsak, ardısık iki terimin oranının sabit bir reel sayı olmadıgını, devamlı degistigini anlarız, bu da bu dizinin geometrik olmadıgına kanıttır. İsteyen n’ye 2, 3, 4 degerlerini vererek de ortak bir çarpanın bulunmadıgını anlayabilirdi.

Soru 6. Asagıda genel terimleri verilen dizilerin hangisi veya hangileri geometrik dizidirler?

Çözüm: Sadece b ve d seçeneklerindeki diziler geometriktir. Diger seçeneklerdeki dizilerde sabit bir r’nin bulunmadıgını anlamak oldukça kolaydır.

Soru 7.

geometrik dizisinin ortak çarpanı kaçtır?

Çözüm:

Oldugundan ortak çarpan 1/4’tür.

Soru 8.

geometrik dizisinin 5’inci terimi kaçtır?

Çözüm: 5’inci terim a₅ demek diye

’tir.

Geometrik dizinin terimleri arasındaki ilişki.

Her terimin kendinden bir önce gelen terimin r katı oldugunu hatırlayarak terimleri yazalım:

Yukardan da kolayca görülecegi üzere iki terimin

oranı, terimlerin indisleri farkı kadar r’nin çarpımıdır.

Yani

gibi.

Soru 9.

İlk terimi 3, ortak çarpanı

olan bir geometrik dizinin 10’uncu terimi kaçtır?

Çözüm:

olur.

Soru 10. Bir geometrik dizide birinci terim

ve

ortak çarpan 3 ise bu dizinin 9’uncu terimi kaçtır?

Çözüm:

olur.

Soru 11. Bir geometrik dizide a₁ = 32, a₅ = 64 ise

bu dizinin ortak çarpanı kaçtır?

Çözüm:

oldugundan

Olur ki

oldugundan

olarak bulunur.

Geometrik dizi – Geometrik orta iliskisi.

Aritmetik diziyle aritmetik orta arasında nasıl bir iliski varsa, geometrik dizide de aynı iliski vardır. Aritmetik dizide herhangi bir terim kendine esit uzaklıkta bulunan terimlerin aritmetik ortası oluyordu ya, geometrik dizide de herhangi bir terim kendine esit uzaklıkta bulunan terimlerin geometrik ortasıdır. Bunu da kanıtlamak çok kolaydır.

Örnegin, n’ninci terimi ele alalım. Komsular da (n– p)’ninci ve (n + p)’ninci terimler olsun.

Biliyoruz ki,

Esitligin her iki yanını  ile çarpalım:

Görüldügü üzere

oldugundan kanıt tamamlanmıstır. Soruları çözerken indislere bu yüzden dikkat etmekte fayda vardır. Rastgele mi (bilgi yelpazesi. com) verilmisler yoksa iki tanesi, bir tanesine esit uzaklıktalar mı? Bunu görmek çözümlerde oldukça hız kazandırır bize.

Soru. Ardısık üç terimi 2x, 3x + 2, 5x + 6 olan pozitif terimli bir geometrik dizinin ortak çarpanı kaçtır?

Çözüm: Madem bu üç terim ardısık, demek ki ortadaki

terim komsularının geometrik ortasıdır.

oldugundan x = 2 veya x = –2’dir. Fakat dizi pozitif terimli dendiginden sadece x = 2 olabilir. Bu durumda ardısık terimler 4, 8, 16 olacagından ortak çarpan 8/4 = 16/8 = 2 olur.

Soru.

bir geometrik dizinin ardısık üç terimiyse a kaçtır?

Çözüm: Yukardakiyle aynı durum var, o halde çözümü de aynı olacak. Burada dizi pozitif terimli filan demedigine göre tek bir a degeri çıkacaktır.

oldugundan a = 9/8 olarak bulunur.

Soru. Bir geometrik dizide a₅ = 4 ve a₂₁ = 9 ise a₁₃ kaçtır?

Çözüm: Dikkat ederseniz 13’ün 5 ve 21’e olan

uzaklıkları esit. O halde 13’üncü terim, 5’inci ve

21’inci terimin geometrik ortası olmalıdır.

oldugundan a₁₃ = 6 ’dır. Buradan neden a₁₃ = 6 oldu da a₁₃ = –6 olmadı diye bir soru aklınıza gelebilir.

Geometrik ortanın, her zaman ortası alınan sayıların en küçügünden büyük, en büyügünden küçük olması gerektigini hatırlarsanız, o soruya cevap vermis olursunuz. Zaten geometrik orta bu yüzden negatif sayılarda tanımlanmamıstır bile.

Geometrik dizilerde ilk n terimin toplamı.

Aritmetik dizilerde ilk n terimin toplamını nasıl bulduysak, burada da aynı islemi tekrarlayacagız. Tüm terimleri alt alta yazıp, toplayacagız.

toplamını yine S_n ile gösterelim.

olarak bulunur. Demek ki ilk n terim toplamını bulmak için ilk terim ve ortak çarpanı bilmek lazım.

Bilmiyorsak da diger verilerden bulmak lazım.

Soru. İlk terimi 2, ortak çarpanı

olan bir geometrik dizinin ilk 10 teriminin toplamı kaçtır?

Çözüm:

oldugundan,

Soru. 1’den 8’e kadar numaralandırılmıs 8 kutunun birincisinde 1 ceviz vardır. Bundan sonraki kutularda ise bir önceki kutudaki ceviz sayısının 2 katı kadar ceviz vardır. Buna göre tüm kutulardaki toplam ceviz sayısı kaçtır?

Çözüm: Kutulardaki ceviz sayısı devamlı bir önceki kutudaki ceviz sayısının 2 katı kadar oldugundan kutulardaki ceviz sayıları bir geometrik dizi olustururlar. İlk terimi 1 olup, ortak çarpanı 2 oldugundan bu dizinin genel terimi 2^n–1’dir. O halde 8 kutudaki toplam ceviz sayısı demek S₈ demek olur.