eğitim öğretim ile ilgili belgeler > konu anlatımlı dersler > matematik dersi ile ilgili konu anlatımlar

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER, DENKLEM ÇEŞİTLERİ, ÖZELLİKLERİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)

 

 TANIMLAR:

 

a, b, c Î R  ve  a ¹ 0 olmak üzere ax2 + bx +c = 0 denklemine, ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

 

Bu denklemdeki a, b, c gerçel sayılarına katsayılar, x’e bilinmeyen denir.

 

Bu denklemi gerçekleyen gerçel sayılara denklemin gerçel kökleri, denklemin köklerini bulma işlemine denklemin çözümü denir.

 

Denklemin köklerinin kümesine de denklemin çözüm kümesi denir.

 

 

UYARI

 

Ayrıca belirtilmedikçe, denklemin çözüm kümesi denildiğinde, denklemin R deki çözüm kümesi anlaşılacaktır.

 

 

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ

 

İlk olarak ax2 + bx + c = 0 denklemini çarpanlarına ayırarak çözebiliriz.

 

ÖRNEKLER :

Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.

1.   3x2 – 5x = 0                   2.   x2 – x – 6 = 0                   3.   2x2 + x – 1 = 0

 

ÇÖZÜMLER :

3x2 – 5x = 0                           2.   x2 - x - 6 = 0                         3.   2x2 + x - 1 = 0

x . (3x – 5) = 0                            (x - 3) . ( x + 2) = 0                    (x + 1) . (2x - 1) = 0

x = 0   V   3x – 5 = 0                   x - 3 = 0   V   x + 2 = 0               x + 1 = 0   V   2x - 1 = 0

 

 

ax2 + bx + c = 0 DENKLEMİNİN GENEL ÇÖZÜMÜ (FORMÜLLE ÇÖZÜM)

 

ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denklemi düzenlenirse;

 

(x’in katsayısının yarısının karesi eklenip çıkarıldı).

Bu kökler gerçel sayı ise b2 - 4ac ³ 0 olması gerekir.

 

 

TANIM :

 

ax2 + bx + c = 0 denkleminde b2 - 4ac ifadesine denklemin diskriminantı denir ve D ile gösterilir.

 

Denklemin kökleri ise

formülleri ile bulunur.

 

Bu kökler kısaca,

biçiminde yazılır.

 

İrdeleme: ax2 + bx + c = 0 denkleminde  D = b2 - 4ac iken

 

1.   D > 0 ise denklemin birbirinden farklı iki gerçel kökü vardır.

 

Bunlar

dır.

 

UYARI

a ile c gerçel sayıları ters işaretli ise D > 0 dır.

 

2.   D = 0 ise denklemin birbirine eşit iki gerçel kökü vardır. Bu durumda denklemin çakışık iki kökü vardır ya da iki kat kökü vardır da denir.

D = 0 olduğundan (ax2 + bx + c) ifadesi tamkare olur.

 

3.   D < 0 ise denklemin gerçel kökü yoktur. Denklemin R deki çözüm kümesi Æ dir.

 

 

İNDİRGENMİŞ DİSKRİMİNANT (YARIM FORMÜL)

 

ax2 + bx + c = 0 denkleminde b çift iken kullanılabilir.

Bu durumda, D’ = (b’)2 - ac

 

 

ÖRNEKLER :

Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümlerini bulunuz.

1.   x2 + 3x - 1 = 0               2.   2x2 - 3x + 10 = 0               3.   x2 - 2

 

ÇÖZÜMLER :

1. x2 + 3x - 1 = 0                                              2.   2x2 - 3x + 10 = 0

a = 1,   b = 3,   c = -1                                         a = 2, b = - 3, c= 10

D = (3)2 - 4(1) (-1) = 9 + 4 = 13                       D = (-3)2 - 4.2.10 = 9 - 80 = -71

D < 0 olduğundan Ç = Æ dir.

 

 

 

 

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLERE DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN DENKLEMLER:

 

ÇARPANLARINA AYRILABİLEN DENKLEMLER

 

P(x).Q(x) =Û  P(x) = 0   V   Q(x)   = 0

 

 

ÖRNEKLER:

1.   2x3 + 3x2 - 18x - 27 = 0                                           2.   3(x - 4)2 - 48 = 0

x2 (2x + 3) - 9(2x + 3) = 0                                               3[(x - 4)2 - 16] = 0 Þ (x - 4)2 - 42 = 0

(2x + 3) (x2 - 9) = 0                                                          (x - 4) - 4 = 0   V   (x - 4) + 4 = 0

(2x + 3) . (x - 3) (x + 3) = 0                                                      x - 8 = 0                         x = 0

2x + 3 = 0   V   x - 3 = 0   V   x + 3 = 0                                           x = 8

 

 

RASYONEL DENKLEMLER

 

ÖRNEK:

 denkleminin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM:

 

 

 

YARDIMCI BİLİNMEYEN KULLANILARAK ÇÖZÜLEN DENKLEMLER (DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME)

 

ÖRNEK:   x6 + 26x3 - 27 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

 

ÇÖZÜM:

x3 = t olsun x6 = (x3)2 = t2 olur.

Buradan denklem

t2 + 26t - 27 = 0  biçimine dönüşür.

Þ (t + 27) . (t - 1) = 0

t + 27 = 0   V   t - 1 = 0

t = -27      t = 1

x3 = -27     x3 = 1

x = -3           x = 1

Ç = {-3,1}

 

 

KÖKLÜ DENKLEMLER

 

n Î N+ ve P(x)  Π R[x]  olmak üzere

 

 

Köklü denklemler çözülürken genelde şu yol izlenir:

1.          Köklü ifade ( ya da köklü ifadelerden birisi) eşitliğin bir yanında yalnız bırakılır.

2.          Her iki taraf uygun kuvveti alınarak, denklem kökten kurtarılır.

3.          Kökten kurtulmuş denklem çözülerek bulunan çözümlerin yukarıda belirtilen koşullara uygun olup olmadığına ya da denklemi sağlayıp sağlamadığına bakılarak denklemin çözüm kümesi bulunur.

 

ÖRNEK:

 denkleminin çözüm kümesi nedir?

 

ÇÖZÜM:

 eşitliğinin sağlanması için,

x + 6 ³ 0 ve x + 4 ³Þ x ³ -4 olmalıdır.

x + 6 = x2 + 8x + 16 Þ x2 + 7x + 10 = 0

(x + 5) (x + 2) = 0 Þ x = -5   V   x = -2

Þ Ç = {-2}

 

 

ÜSLÜ DENKLEMLER

 

ÖRNEK:

 denkleminin çözüm kümesi nedir?

 

ÇÖZÜM:

 dır.

(x+3) (x-2) = 0 Þ x + 3 = 0   V   x - 2 = 0

Þ x = -3              x = 2

Ç = {-2, 3}

 

 

MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER

 

Mutlak değerli ifade içeren bir denklemi çözmek için yapılacak ilk işlem, gerçel sayılarda mutlak değer tanımını kullanarak mutlak değeri kaldırmaktır. Bunu şöyle açıklayabiliriz.

n Î N+

 

ÖRNEK:

x2 - |x|- 2 = 0  denkleminin çözüm kümesi nedir?

 

ÇÖZÜM:

x2 - |x| - 2 = 0

Þ         x2 - (-x) - 2 = 0

Þ         x2 + x - 2 = 0

Þ         (x + 2) . (x - 1) = 0

x = -2        x = 1

Ç1 = {-2}

x ³ 0 Þ |x| = x dir.

Þ         x2 - x - 2 = 0

(x - 2)  (x + 1) = 0

x = 2   V   x = -1

Ç2 = {2}

Denklemin çözüm kümesi ise Ç = Ç1 È Ç2 dir. Buradan Ç = {-2, 2} bulunur.

 

 

DENKLEM SİSTEMLERİ

 

ÖRNEK:

 

ÇÖZÜM:

x + y = 20   Þ   y = 20 - x,   x .y = 64   Þ   x . (20 - x) = 64

20x - x2 = 64   Þ   x2 - 20x + 64 = 0

Þ   (x - 16) (x - 4) = 0,            x1 = 16   V   x2 = 4

Þ   y1 = 20 - 16       Þ y2 = 20 - 4

y1 = 4                      y2 = 16

Ç = {(16, 4) , (4, 16)}

 

 

ÖRNEK:

 

ÇÖZÜM:

 

 

 

PAREMETRELİ DENKLEMLER

 

İçinde x değişkeninden başka sabit ya da sabitler bulunan denklemlere parametreli denklemler denir. bilgi yelpazesi.com

 

Örneğin; mx2 - (m - 1)x - 2m + 3 = 0 denklemindeki parametre m ; 2x2 - (a - b)x + a . b = 0 denklemindeki parametreler a ve b dir.

 

ÖRNEK:

(m - 3)x2 - 2mx + 3(m - 1) = 0 denkleminin köklerinden birisi (-1) ise m kaçtır?

 

ÇÖZÜM:

(m - 3)x2 - 2mx + 3(m - 1) = 0

x = -1 için (m - 3) (-1)2 - 2m(-1) + 3(m - 1) = 0

m - 3 + 2m + 3m - 3 = 0

6m = 6   Þ   m = 1

 

 

ÖRNEK:

mx2 - 2(m - 1)x + m - 5 = 0  denkleminin birbirine eşit iki kökünün olabilmesi için (m) kaç olmalıdır?

 

ÇÖZÜM:

x1 = x2 ise D = 0 olmalıdır.

Þ   (b’)2 - ac = 0   D   [ - (m - 1)]2 - m(m - 5) = 0

 

UYARI

İkinci dereceden bir bilinmeyenli bir iki denklemin birer kökleri aynı (ortak) ise, bu iki denklemdeki x2 li terimler yok edilir. Bulunan x değeri, denklemlerin ortak kökü olur.

 

ÖRNEK:

 

ÇÖZÜM:

Çözüm kümeleri eşit ise denklemlerde birbirine eşit olmalıdır.

3 / 2x2 - (n - 1)x - m + 6 = 0

2 / 3x2 - 2x + 2m - 1 = 0

 

 

İKİNCİ DERECEDEN BİR DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR

ax2 + bx + c = 0 denkleminin diskriminantı   D = b2 - 4ac ve kökleri

idi.

 

 

 

UYARI

Köklerle katsayılar arasında verilen bağıntılardan ilk üçünün esas alınarak, diğerlerinin bunlardan ve özdeşliklerden yararlanılarak elde edildiğine dikkat ediniz.

 

ÖRNEK:

2x2 - 4x + m - 3 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.

x12 + x22 = 4 ise m kaçtır?

 

ÇÖZÜM:

Denklemde a = 2,   b = -4,   c = m - 3 dür.

16 - 4m + 12 = 16

m = 3

 

 

ÖRNEK:

2x2 + 7x –1 = 0 denkleminin köklerinin 3 er eksiğinin çarpımı kaçtır? bilgi yelpazesi.com

 

ÇÖZÜM:

Denklemin kökleri x1, x2 olsun.

İstenen bağıntı (x1 - 3) . (x2 - 3) dür.

Buna göre;

(x1 - 3) . (x2 - 3) = x1x2 - 3x1 - 3x2 + 9

 

 

 

KÖKLERİ VERİLEN DENKLEMİ BULMAK

 

Kökleri x1, x2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler, (x - x1) . (x - x2) = 0 biçimindedir. Bu denklem düzenlenirse, x2 - (x1 + x2) . x + (x1 . x2) = 0 denklemi elde edilir.

 

ÖRNEK:

Kökleri -3 ile 2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem nedir?

 

ÇÖZÜM:

x2 - (x1 + x2) . x + (x1 . x2) = 0 Þ x2 - (-1) . x + (-6) = 0

Þ x2 + x - 6 = 0 dır.

 

ÖRNEK:

Katsayıları rasyonel sayı olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin köklerinden birisi  dir. Bu denklem nedir?

ÇÖZÜM:

 

UYARI

a, b, c, p, q Î Q olmak üzere ax2 + bx + c = 0 denkleminin bir kökü

 dur.

 


“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR” SAYFASINA GERİ DÖNMEK İÇİN

>>>TIKLAYIN<<<


“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ TEST SORULARI, SORU BANKASI” SAYFASINI GÖRMEK İSTERSENİZ

>>>TIKLAYIN<<<


“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ YAZILI SORULARI” SAYFASINI GÖRMEK İSTERSENİZ

>>>TIKLAYIN<<<

Yorumlar

.........

38. **Yorum**
->Yorumu: çok güzel olmuş teşekkür 
->Yazan: melike


37. **Yorum**
->Yorumu: Allah razı olsun işime yaradı :) 
->Yazan: Selçuk Müslüm


36. **Yorum**
->Yorumu: projeye yardımcı oldunuz saolun 
->Yazan: Furkan
.....

35. **Yorum**
->Yorumu: allah emeği geçenlerin hepsinden razı olsun sayenizde 100 aldm yani :D 
->Yazan: s


34. **Yorum**
->Yorumu: TEŞEKÜRLER BUNU ANLATIĞINIZ İÇİN VALLA PROJE GÖREVİMDİ........ 
->Yazan: selman


33. **Yorum**
->Yorumu: vala çok guzel olmuş çok iyi anladım teşekürler 
->Yazan: selman
......

32. **Yorum**
->Yorumu: Valla perfonmas ödevimdi buradan yaptim cok tsk ederim
->Yazan: Şahin Erözcan


31. **Yorum**
->Yorumu: GÜZEEEL İNŞ 100 ALCAM 
->Yazan: ENGİN ALTTAN

30. **Yorum**
->Yorumu: Çok teşekkür ederim sağolun
->Yazan: elif

29. **Yorum**
->Yorumu: cok saolun proje ödevime cok yardımcı oldunuz 
->Yazan: mehmet

28. **Yorum**
->Yorumu: bence güzel olmuş bu benim proje ödevim , umarım bu bilgiler işime yarar ve sınavlarda falan karşıma çıkarsa yapabilirim . hazırlayan emeği geçen, bu siteden yararlanan ve yararlanacak herkese teşekkür ederim 
->Yazan: nihalberre 

27. **Yorum**
->Yorumu: cok ıyı hazrlnmıs saolun.yardmnz ıcn.. bı unıversıteli olarak.
->Yazan: irem

26. **Yorum**
->Yorumu: GERÇEKTEN MÜTHİŞ OLMUŞ HAZIRLAYANIN VE EMEĞİ GEÇEN HERKESİN ELİNE SAĞLIKK....
->Yazan: EBRULİLİİLİLİLİLİ

25. **Yorum**
->Yorumu: çok teşekkürler , hazırlayanın eline sağlık dönem ödevim hazırdır :)
->Yazan: deniz.

24. **Yorum**
->Yorumu: güzel olmuş anlatımı çok teşekkürler 
->Yazan: ayşegü..

23. **Yorum**
->Yorumu: Çok Teşekkürler sayenizde proje ödevimi yapabildim 
->Yazan: Polat.

22. **Yorum**
->Yorumu: Bu konuların Hepsi 2.Dereceden Denklemi İçeriyo Dimi :D
->Yazan: MERT.

21. **Yorum**
->Yorumu: Çok Teşekkürler :D Çok İyi Anladım Hazırlayanın Ellerine Sağlık :D
->Yazan: LaCHuNDeR.

20. **Yorum**
->Yorumu: Cok super anlatmisiniz gamsammida 
->Yazan: yaprak bilgin..

19. **Yorum**
->Yorumu: gerçekten çok saolun sayenizde ödevimi yapcam tenksler :) :) :) :)
->Yazan: berkay .

18. **Yorum**
->Yorumu: çok teşekkür ederim sayenizde 30 soru ödevim bitti :)
->Yazan: nupelda..

17. **Yorum**
->Yorumu: proje ödevime yardımcı oldunuz çok teşekkür ederim <33
->Yazan: kadir tan ..

16. **Yorum**
->Yorumu: teşekkürler yazdığınız için yoksa dönem ödevinin son akşamıydı
->Yazan: rıdvan.

->Yazan   : ilayda
->Yorumu:  yıllık ödevimde bana yardımcı olduğunuz için teşekkür ederim....

->Yazan   : ilhan
->Yorumu: çok sagolun  valla  çok   güzel olmus  ellerinize  saglik.

->Yazan   : kazim
->Yorumu: çok güzel konular ya kim koyduysa çokk tesekkürler.

->Yazan   : Tamer
->Yorumu: Çok tesekkürler 2.sinava sayenizde iyi hazirlandim.Ellerinize saglik.Tesekkürler !.

->Yazan : bilmiyorum bu soruyu
->Yorumu: iki bölü üç(x-1)-bir bölü alti (2x-3)=0 denklemin çözüm kümesi nedir ?.

->Yazan : tülay
->Yorumu: çok thanks ;) sayenizde dönm ödevimi tammlayarak 95 aldim....

->Yazan : Sefa
->Yorumu: gerçekten çok mükemmel bir site, yillik ödevim sayenizde çok iyi oldu tesekkürler ....

->Yazan : abdullah y.
->Yorumu: çok saolun emeginize saglik son 2 gün ve burdan yapiyorum tsk.

->Yazan : özge
->Yorumu: çok saolun dönem ödevimi hazirladim bu bilgiler sayesinde :)).

->Yazan : TUGÇE
->Yorumu: YILLIK ÖDEVIM ÇIKTI ÇOK SÜPER ANLATILMIS TENKS:).

->Yazan : Adem
->Yorumu: Tesekur Ederim Sayenizde Donem Odevin Hzirlicam Emeginize Saglik.

>Yazan: burak
>Yorum: mükemmel . dönem ödevimi nerden bulucam derken bu sayfa harika oldu. çok saolun.

>Yazan: melike
>Yorum: tskkürler sayenizde dönm ödewimi hazirladim çok saolunn.

>Yazan: sabri dogan
>Yorum: çok güzel anlatmissiniz tesekkür ederim.

>Yazan: TUGÇE
>Yorum: ÇOK TEŞEKKÜR EDERİM BU KONUYU BURAYA KOYDUĞUNUZ İÇİN,,,,.

>>>YORUM YAZ<<<

Adınız:
Yorumunuz:


 




EĞİTİM ÖĞRETİM KONULARI Atasözleri Hikayeleri Özellikleri Belirli Gün ve Haftalar Çocuk Şarkıları - Şarkı Sözleri Hikayelerden Seçmeler İlginç Bilgiler Eğlenceli Bilgiler İllerimiz Ve İlçelerimiz Türkiye Kitap Özetleri Roman Özetleri Konu Anlatımlı Dersler Maniler Manilerden Seçmeler Masal Masallardan Seçmeler Meslek Tanıtımları Meslekler Rehberlik Köşesi Soru Bankası, Test Soruları Şiirler Seçme Güzel Şiirler Tekerleme Tekerlemeler Tiyatro Oyunları, Skeç, Piyes Türküler Türkü Sözleri Yazar Ve Şairlerin Hayatı Yazılı Soruları Arşivi ***Devamını Göster*** KONU ANLATIMLI DERSLER Beden Eğitimi Dersi Konu Anlatımı Bilgi Ve İletişim Teknolojileri Dersi Konu Anlatımı Biyoloji Dersi Konu Anlatımı Coğrafya Dersi Konu Anlatımı Din Kültürü Ve Ahlak Bilgisi Dersi Konu Anlatımı Edebiyat Dersi Konu Anlatımı Eğitim Bilimleri Dersi Konu Anlatımı Felsefe Dersi Konu Anlatımı Fen Bilimleri Dersi Konu Anlatımı Gelişim Ve Öğrenme Dersi Konu Anlatımı Hazreti Muhammed'in Hayatı Dersi Konu Anlatımı İngilizce Dersi Konu Anlatımı Matematik Dersi Konu Anlatımı Muhasebe Dersi Konu Anlatımı Sosyal Bilgiler Konu Anlatımı Tarih Dersi Konu Anlatımı Türkçe Dersi Konu Anlatımı Uluslar Arası İlişkiler Dersi Konu Anlatımı Vatandaşlık Anayasa İnsan Hakları Dersi Konu Anlatımı ***Devamını Göster*** YAZILI SORULARI YAZILILAR Biyoloji Yazılı Soruları Coğrafya Yazılı Soruları Dil Ve Anlatım Yazılı Soruları Din Kültürü Yazılı Soruları Edebiyat Yazılı Soruları Fen Bilimleri Yazılı Soruları Fizik Yazılı Soruları İngilizce Yazılı Soruları Kimya Yazılı Soruları İnkılap Tarihi Yazılı Soruları Matematik Yazılı Soruları Sosyal Bilgiler Yazılı Soruları Trafik Güvenliği Trafik Ve İlk Yardım Yazılı Soruları Türkçe Yazılı Soruları Vatandaşlık Ve Demokrasi Eğitimi Yazılı Soruları ***Devamını Göster*** SORU BANKASI TEST SORULARI Coğrafya Test Soruları Soru Bankası Din Kültürü Test Soruları Soru Bankası Edebiyat Test Soruları Soru Bankası Fen Bilimleri Test Soruları Soru Bankası İngilizce Test Soruları Soru Bankası İnkılap Tarihi Test Soruları Soru Bankası Matematik Test Soruları Soru Bankası Osmanlı Tarihi Test Soruları Soru Bankası Sosyal Bilgiler Test Soruları Soru Bankası Tarih Test Soruları Soru Bankası TC İnkılap Tarihi Test Soruları Soru Bankası Türkçe Test Soruları Soru Bankası Vatandaşlık Anayasa İnsan Hakları Test Soruları Soru Bankası ***Devamını Göster*** REHBERLİK KÖŞESİ Ders Çalışma Ödev Yapma İş Hayatı Başarısını Arttırma Kişisel Bedensel Gelişim Meslek Tanıtımları Okul Başarısını Arttırma Okuma Alışkanlığı Kazandırma Öğretmenlik Mesleği Sınavlara Hazırlanma Sinirini Engelle ***Devamını Göster*** HAYATIN İÇİNDEN BİLGİLER Cep Telefonu Mesajları İsimler Sözlüğü Pratik Bilgiler Yazıklar Olsun Zararları Sakıncaları ***Devamını Göster*** BİLGİSAYAR OYUNLARI Akıl Zeka Eğitici Oyunlar Araba Yarışı Oyunları Ateş Etme Hedef Vurma Oyunları Beceri Yetenek Oyunları Birleştirme Patlatma Oyunları Boyama Oyunları Dövüş Oyunları Futbol Oyunları Giysi Giydirme Oyunları Komik Eğlenceli Oyunlar Macera Oyunları Mario Oyunları Motosiklet Oyunları Savaş Oyunları Tasarlama Oyunları Yemek Yapma Oyunları ***Devamını Göster*** YEMEK TARİFLERİ MUTFAK Aperatifler Atıştırmalıklar Balık Yemekleri Tarifleri Tarifleri Börek Çörek Tarifleri Çorba Tarifleri Tarifleri Dolma Sarma Tarifleri Diyet Yemekleri Tarifleri Et Yemekleri Kebap Köfte Tarifleri Kek Tarifleri Komposto Tarifleri Kurabiye Tarifleri Pasta Tarifleri Pilav Tarifleri Reçel Tarifleri Salata Garnitür Tarifleri Sebze Yemeği Tarifleri Tatlı Turta Tart Tarifleri Tavuk Yemekleri Tarifleri ***Devamını Göster*** SAĞLIKLI YAŞAM REHBERİ Hastalıklar Çeşitleri Özellikleri Sağlık İçin Minik Notlar Sigaranın Zararları Sigarayı Bırakma Yolları Şifalı Bitkiler Listesi Şifalı Bitki Karışımları ***Devamını Göster***