eğitim öğretim ile ilgili belgeler > konu anlatımlı dersler > matematik dersi ile ilgili konu anlatımlar

ÖZDEŞLİK, ÖZDEŞLİK ÇEŞİTLERİ, ÖZDEŞLİĞİN ÖZELLİKLERİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)

 

Tanım : Sabit olmayan, birden fazla polinom un çarpımı biçimin  de yazılamayan polinomlara  indirgenemeyen polinomlar denir. Baş katsayısı bir olan indirgenemeyen polinomlar Asal polinomlar  denir.

 

*  P(x) = x2 + 4 ,  Q(x) = 3x2 + 1,  R(x) = 2x – 3 ,  T(x) = - x + 7

Polinomları indirgenemeyen polinomlar dır.

 

P(x) = x2 + 4  baş katsayısı 1 olduğundan  asal polinom dur.

 

 

Tanım : İçindeki değişkenlerin alabileceği her değer için doğru olan eşitliklere özdeşlik denir.

 

a) x3 (x2 – 2x) = x5 – 2x4

 

b) a2 (x + y)2 = a2 x2 + a2 y2   özdeşlik

 

c) a2 (x +y)2 = a2 x2 + a2 y2     özdeşlik değildir.

 

 

ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLER

 

I) Tam Kare Özdeşliği:

 

a) İki Terim Toplamının Karesi :  (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

 

b) İki Terim farkının Karesi       :   (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

 

İki terim toplamının ve farkının karesi alınırken; birincinin karesi,birinci ile ikincinin iki katı, ikincinin karesi alınır.

 

c) Üç Terim Toplamının Karesi:

 

(a +b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc) şeklindedir.

 

 

II) İki Terim Toplamı veya Farkının Küpü :

 

a) İki Terim Toplamının Küpü :  (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

 

b) İki Terim Farkının Küpü      :  (a – b)3 = a3  – 3a2b + 3ab2 – b3

 

Birinci terimin küpü;( ) birincinin karesi ile ikincinin çarpımının 3 katı, (+) birinci ile ikincinin karesinin çarpımının 3 katı,( ) ikincinin  küpü biçimindedir. Bu açılımlara Binom  Açılımıda denir

 

Not:. Paskal Üçgeni kullanılarak  4.,5.,6.,...Dereceden iki terimlilerin özdeşliklerini de yazabiliriz.

 

 

III)   İki Kare Farkı Özdeşliği:      (a + b) (a – b) = a2 – b2

 

İki terim toplamı ile farkının çarpımı; birincinin karesi ile ikincinin karesinin farkına eşittir.

 

 

IV) xn + yn  veya xn - yn  biçimindeki polinomların Özdeşliği :

 

i)

a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

a3 –  b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

 

ii)

a4 + b4 = (a + b) (a3 – a2b + ab2 – b3)

a4 –  b4 = (a2 + b2) (a + b) (a – b)

 

iii)

a5 + b5  = (a + b) (a4 – a3b + a2 b2 – ab3 + b4)

a5 – b5  = (a – b) (a4 + a3b + a2 b2 + ab3 + b4)

 

iv)

a6 + b6  = (a + b) (a5 – a4b + a3 b2 – a2b3 + ab4 – b5)

a6 –  b6  = (a – b) (a2 + ab + b2) (a+ b) (a2 + ab + b2)

 

v)

a7 + b7  = (a + b) (a6 – a5b + a4b2 – a3b3 + a2b4 – ab5 + b6)

a7 –  b7  = (a – b) (a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6)

 

 

Özdeşlikleri aşağıdaki şekilleriyle düzenleyerek kullanabiliriz

 

1)  x2 + y2  = (x + y)2 – 2xy

 

2)  x2 + y2  = (x – y)2 + 2xy

 

3) (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy

 

4) (x + y)2 = (x – y)2 + 4xy

 

5) x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy (x – y)

 

6) x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy (x + y)

 

7) x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2 (xy + xz + yz)

 

 

1)  İki sayının toplamı 17, kareleri toplamı 145 ise; bu sayıların çarpımı kaçtır?

 

x2 + y2  = (x + y)2 – 2xy              2ab = 289 – 145

145 =  (17)2 – 2ab                     2ab = 144         ab = 72     C= 72

 

2)   a – b = 6            (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab       (a + b)2 = 44

a . b = 2                          = ( 6 )2  + 4.2             (a + b) =

a + b = ?                         =  36 + 8                                = 44

 

3)   a – 2b = 3  ise;  a2 + 4b2 = ?    a2 + 4b2 = (a – 2b)2 +2. a2b

a . b = 2                                                 = ( 3 )2 + 2. 2 .2  = 17

 

4)   a + b = 12  ise;  a . b = ?    (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab    4 ab = 108

a – b = 6                               ( 12 )2 = ( 6 )2  + 4ab           ab = 27

 

5)

m + n =8                        x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y)

m . n = 1                         m3 + n3 = (m + n)3 – 3mn (m + n)

m3 + n3 = ?                                  = ( 8 )3 – 3 . 1 . 8 = 488

 

6)

a3 – b3 = 50                    x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy(x – y)

a – b = 2 ise;                   a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

a . b = ?                          50 = 8 + 6ab   6ab = 42 ab = 7

 

7)

x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy(x – y)

= ( 3 )3 + 3.1.( 3 ) = 36

10) ise;      x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y)

198

 

8)

a + b + c = ?               a2 + b2 + c2 = (a + b + c) – 2(ab + aç + bc)

ab + ac + bc = 12                          = ( 7 )2 – 2 ( 12 )

a2 + b2 + c2 = ?                              = 49 – 24 = 25

 

 

ÇARPANLARA AYIRMA KURALLARI

 

 

1) Ortak Çarpan Parantezine Alarak Çarpanlara Ayırma :

Her terimde ortak olarak bulunan çarpan, parantez dışına alınır. Her terimin ortak çarpana bölümü parantez içine yazılır.

 

1)  Aşağıdaki ifadeleri Çarpanlarına ayırınız. bilgiyelpazesi.com

 

a)  3a + 3b = 3(a + b)

 

b)  5m – 10mn = 5m (1 – 2)

 

c)  12x + 9y =3(4x + 3y)

 

d)  3a2b – 2ab2 = ab (3a – 2b)

 

e)  3ax + 3ay – 3az

 

f)  (a – b) x + 3 (a – b)

 

g)  (m – n) – (a + b)(m – n)

 

h)   – a – b – x2 (a + b)

 

ı)   x2(p – 3) + ma2 (3 – p)

 

i)   1 – 2x + m (2x – 1)

 

 

2) Gruplandırma Yaparak Çarpanlara Ayırma :

 

Bütün terimlerde ortak çarpan yoksa, terimler ikişer, ikişer, üçer, üçer guruplandırılır. Gruplar ayrı, ayrı  ortak çarpanlarına ayrılır.

 

2)

a)  mx + ny + my + nx

 

b)  xy – xb – yb + b2

 

c)  x4 – 4 + 2x3 – 2x

 

d)  2x2 –3x – 6xy + 9y

 

e)  x3 – x + 1 – x2

 

f)   x4 – x + x3 – 1

 

g)  ab(c2 – d2) – cd (a2 – b2)

 

h)  ac2 + 3c – bc – 2ac – 6 + 2b

 

ı)  mn(zi + y2) + zy (m2 + n2)

 

i)  a2b2 + 1 – (a2 + b2)

 

 

3) Tam Kare şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma :

 

Polinom üç terimli ise, ilk ve son terimin kare köklerinin çarpımı  nın iki katı ortadaki terimi  veriyorsa, bu tam kare şeklinde ifadedir

 

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2,         a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

 

 

3)

 

a)  x2 + 4xb + 4b2

 

b)  4a2 + 12ab + 9b2

 

c) 4a2b2 – 4abc + c2

 

4)

 

a) a2b + 8ab +16b3

 

b) 2m3 – 28m2 +98m

 

c) 4x3y – 12x2y2 + 9xy3

 

 

4) İki Kare Farkı Şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma :

 

Polinom iki terimli , işaretleri farklı, kare kökleri alınıyorsa; Bu Polinom iki kare farkı biçiminde çarpanlarına ayrılır.

 

a2 – b2 = (a + b) (a – b)

 

5)  a) 25 – 9a2b2

 

b) x4 – 1

 

c) (m – n)2 – (m + n)2

 

 

6)  a) 18x2 – 2y2

 

b) 2a2b3 – 32b

 

c) 12x3y – 75xy5

 

 

7)

 

a) 9a2 – 6a +1 – b2

 

b) x2 – 12x + 36 – 4y2

 

c)16m2 – n2 – 6n – 9

 

d)1 – x2 – 2xy – y2

 

e) m2 – n2 – 3m + 3n

 

f) a2 – 25b2 – a + 5b

 

g) a2 – 4m2 – 12mn – 9n2

 

h)  9a2 –16m4 – 12axy + 4x2y2

 

 

5) İki Küp Toplamı - Farkı İfadeleri  Çarpanlara Ayırma:

 

a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) ,  a3 –  b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

 

 

8)   a) a3 + 8

 

b) 8 – m3

 

c) x3 + 1

 

d) 27a3 – 64

 

e) x3a3 + b3

 

9)   a) 81m3 – 3n3

 

b) 24x3y – 3y

 

c) 2x + 54x4

 

10)  a) (x +y)3 – 8

 

b) a3 + 8(a - b)3

 

c) (m – n)3 + 1

 

 

6) xn   yn   biçimindeki polinomları Çarpanlara Ayırma:

 

 

11)

 

a)  x4 + 1  =  (x + 1) (x3 – x2 + x – 1)

 

b)  x4 – 1  =  (x2 + 1) (x + 1) (x – 1)

 

c)  x5 + 25 =  (x + 2) (x4 – 2x3 + 4x2 – 8x + 16)

 

d)  x5 – 1  =  (x – 1) (x4 + x3 + x2 + x + 1)

 

 

7) Bir Terim Ekleyip Çıkararak Çarpanlara Ayırma:

 

Verilen İfade uygun bir terim ekleme ve çıkarma yolu ile tam kare ve iki kare farkı şeklinde çarpanlara ayırma işlemine benzetilir

 

12)  4x4 + 7x2 + 4  ifadesini Çarpanlarına ayırınız.

 

4x4  +  7x2  + 4  =  4x4 + 7x2 + 4 + x2 – x2               = 4x4 + 8x2 + 4– x2

= (2x2 + 2)2 – x2

2x2                                                                = (2x2 + 2 – x) (2x2 + 2 + x)

2.2x2.2 = 8x2                                                               = (2x2 – x + 2) (2x2 + x + 2)

 

 

13)  x2 – 6x + 5   ifadesini x’li terimin kat sayısının yarısının karesini ekleyip-çıkararak çarpanlarına ayırınız.

x2 – 6x + 5 + 32 – 32 = (x2 – 6x + 32) – 32 + 5    = (x – 3)2 – 4

= (x – 3 – 2) (x – 3 + 2) = (x – 5) (x – 1)

 

14)

 

a)  m2 + 2m – 24

 

b)  a4 + a2 + 1

 

c) 16a4 + 4a2b2 + b4

d)  a2 – 6ab + 8b2 +2b – 1

 

(Not: b2 yi bir ekleyip - çıkar )

 

 

8)  x2 + bx + c  şeklindeki üç terimlileri Çarpanlarına Ayırma :

 

15)

 

a) x2 + 5x + 6

 

b) x2 – 5x + 6

 

c) x2 + 7x + 6

 

d) x2 – 7x + 6

e) x2 + 5x – 6

 

f) x2 – 5x – 6   g) x2 + x – 6

 

h) x2 – x – 6

 

ı) x2 – 7x – 18

 

i) x4 – x2 – 30

 

k) m2 – 6m – 27

 

l) x2 – 3xy – 10y2

 

m)  –x2 – 2x + 3

 

n) x2 – 13x + 30

 

o) x2 + 2y2– 3xy

 

 

9) ax2 + bx + c  şeklindeki üç terimlileri Çarpanlarına Ayırma :

 

ax2 + bx + c = (mx + p) (nx + q) bilgiyelpazesi.com

mx            p

nx            q     (mx.q + nx.q = bx  oluyorsa)

 

 

16)

6x2 + 7x – 3   =  (3x – 1) (2x + 3)  olur.

3x          – 1       (3x . 3 – 1. 2x  =  9x – 2x  = 7x  olduğundan)

2x         + 3

 

17)

a) 3x2 – 2x – 8            b) 3x2 – 7x + 2       c) 2m2 + 5mn – 12n2

 

d) 8a2 – 2ab – b           e) 4x2 + 21x + 5     f) 36a2 – 33ab – 20b2

 

g) 4m2 + 11m – 3        h) 6a2 + 5a – 6        ı) 12a2 – 8ab – 15b2

 

i)  2m2 – 10m + 12        k) 3x2 + 3x – 18      l)  3 n2 + 30n + 48

 

18) 

a2 + 2ab + b2 = 3     ve   c2 + 2ac + 2bc = 6   ise;  a + b + c = ?

c2 + 2ac + 2bc = 6   T.T.T

a2 + b2 + c2 + 2ab  + 2ac + 2bc = 9 (a + b + c)2 = 9  Ç = {-3, 3}

 

19)

x = 4 , y = 2 ise,  x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5 = ?

a) 16    b) 32    c) 64    d) 128   e) 256

x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5 = (x – y)5 = (4 – 2)5= 32

 

20)

a + b yerine ab yazılırsa

(a . b)2 – 2ab – 24 = 0 olur.

a .b  = y   diyelim.

y2 – 2y – 24 = 0     y – 6) (y + 4) = 0      y = - 4   ve   y = 6



“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR” SAYFASINA GERİ DÖNMEK İÇİN

>>>TIKLAYIN<<<


“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ TEST SORULARI, SORU BANKASI” SAYFASINI GÖRMEK İSTERSENİZ

>>>TIKLAYIN<<<


“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ YAZILI SORULARI” SAYFASINI GÖRMEK İSTERSENİZ

>>>TIKLAYIN<<<

Yorumlar

.....

11. **Yorum**
->Yorumu: Sagolun projemi burdan yaptım herkese tskkürler
->Yazan: berna

10. **Yorum**
->Yorumu: konular çok ayrıntılı ve çok bunun için teşekkürler
->Yazan: rıdvan

9. **Yorum**
->Yorumu: projemi burdan yaptm çok güzel ve ayrıntılı anlatılmış 
->Yazan: sümeyye


8. **Yorum**
->Yorumu: 8. SINIF İÇİN GİRDİM BU ÖRNEKLERDE KÜP VAR AMA GÜZELL
->Yazan: ALEYNA.

7. **Yorum**
->Yorumu: harika bir site bulamayanlar üzülsün :D
->Yazan: erdem.

6. **Yorum**
->Yorumu: yardımınız için çoook teşekkür ederim siz olmasaydınız ne yapacağımı bilmiyordum:)
->Yazan: fatma.

->Yazan   : elif
->Yorumu: ii di özdeşlik konusu çok ii anlatılmış size çok teşekkür ederim saolun varolun.

->Yazan   : sümeyye yakış
->Yorumu: performansımın BİR BÖLÜMÜNÜ buradan yapıyorum çok saolun TŞK.

->Yazan : alpay
->Yorumu: cok sagolun cok güzel bir site burasi.

->Yazan : eses
->Yorumu: prformans ödevim için çok ise tesekkür ederim =).

>Yazan: esra
>Yorum:
çok yardiminiz ddokundu saolun 100 aldim size yemin edebilirim:):) .

>>>YORUM YAZ<<<

Adınız:
Yorumunuz:


 




EĞİTİM ÖĞRETİM KONULARI Atasözleri Hikayeleri Özellikleri Belirli Gün ve Haftalar Çocuk Şarkıları - Şarkı Sözleri Hikayelerden Seçmeler İlginç Bilgiler Eğlenceli Bilgiler İllerimiz Ve İlçelerimiz Türkiye Kitap Özetleri Roman Özetleri Konu Anlatımlı Dersler Maniler Manilerden Seçmeler Masal Masallardan Seçmeler Meslek Tanıtımları Meslekler Rehberlik Köşesi Soru Bankası, Test Soruları Şiirler Seçme Güzel Şiirler Tekerleme Tekerlemeler Tiyatro Oyunları, Skeç, Piyes Türküler Türkü Sözleri Yazar Ve Şairlerin Hayatı Yazılı Soruları Arşivi ***Devamını Göster*** KONU ANLATIMLI DERSLER Beden Eğitimi Dersi Konu Anlatımı Bilgi Ve İletişim Teknolojileri Dersi Konu Anlatımı Biyoloji Dersi Konu Anlatımı Coğrafya Dersi Konu Anlatımı Din Kültürü Ve Ahlak Bilgisi Dersi Konu Anlatımı Edebiyat Dersi Konu Anlatımı Eğitim Bilimleri Dersi Konu Anlatımı Felsefe Dersi Konu Anlatımı Fen Bilimleri Dersi Konu Anlatımı Gelişim Ve Öğrenme Dersi Konu Anlatımı Hazreti Muhammed'in Hayatı Dersi Konu Anlatımı İngilizce Dersi Konu Anlatımı Matematik Dersi Konu Anlatımı Muhasebe Dersi Konu Anlatımı Tarih Dersi Konu Anlatımı Türkçe Dersi Konu Anlatımı Uluslar Arası İlişkiler Dersi Konu Anlatımı Vatandaşlık Anayasa İnsan Hakları Dersi Konu Anlatımı ***Devamını Göster*** YAZILI SORULARI YAZILILAR Biyoloji Yazılı Soruları Coğrafya Yazılı Soruları Dil Ve Anlatım Yazılı Soruları Din Kültürü Yazılı Soruları Edebiyat Yazılı Soruları Fen Bilimleri Yazılı Soruları Fizik Yazılı Soruları İngilizce Yazılı Soruları Kimya Yazılı Soruları İnkılap Tarihi Yazılı Soruları Matematik Yazılı Soruları Sosyal Bilgiler Yazılı Soruları Trafik Güvenliği Trafik Ve İlk Yardım Yazılı Soruları Türkçe Yazılı Soruları Vatandaşlık Ve Demokrasi Eğitimi Yazılı Soruları ***Devamını Göster*** SORU BANKASI TEST SORULARI Coğrafya Test Soruları Soru Bankası Din Kültürü Test Soruları Soru Bankası Edebiyat Test Soruları Soru Bankası Fen Bilimleri Test Soruları Soru Bankası İngilizce Test Soruları Soru Bankası İnkılap Tarihi Test Soruları Soru Bankası Matematik Test Soruları Soru Bankası Osmanlı Tarihi Test Soruları Soru Bankası Sosyal Bilgiler Test Soruları Soru Bankası Tarih Test Soruları Soru Bankası TC İnkılap Tarihi Test Soruları Soru Bankası Türkçe Test Soruları Soru Bankası Vatandaşlık Anayasa İnsan Hakları Test Soruları Soru Bankası ***Devamını Göster*** REHBERLİK KÖŞESİ Ders Çalışma Ödev Yapma İş Hayatı Başarısını Arttırma Kişisel Bedensel Gelişim Meslek Tanıtımları Okul Başarısını Arttırma Okuma Alışkanlığı Kazandırma Öğretmenlik Mesleği Sınavlara Hazırlanma Sinirini Engelle ***Devamını Göster*** HAYATIN İÇİNDEN BİLGİLER Cep Telefonu Mesajları İsimler Sözlüğü Pratik Bilgiler Yazıklar Olsun Zararları Sakıncaları ***Devamını Göster*** BİLGİSAYAR OYUNLARI Akıl Zeka Eğitici Oyunlar Araba Yarışı Oyunları Ateş Etme Hedef Vurma Oyunları Beceri Yetenek Oyunları Birleştirme Patlatma Oyunları Boyama Oyunları Dövüş Oyunları Futbol Oyunları Giysi Giydirme Oyunları Komik Eğlenceli Oyunlar Macera Oyunları Mario Oyunları Motosiklet Oyunları Savaş Oyunları Tasarlama Oyunları Yemek Yapma Oyunları ***Devamını Göster*** YEMEK TARİFLERİ MUTFAK Aperatifler Atıştırmalıklar Balık Yemekleri Tarifleri Tarifleri Börek Çörek Tarifleri Çorba Tarifleri Tarifleri Dolma Sarma Tarifleri Diyet Yemekleri Tarifleri Et Yemekleri Kebap Köfte Tarifleri Kek Tarifleri Komposto Tarifleri Kurabiye Tarifleri Pasta Tarifleri Pilav Tarifleri Reçel Tarifleri Salata Garnitür Tarifleri Sebze Yemeği Tarifleri Tatlı Turta Tart Tarifleri Tavuk Yemekleri Tarifleri ***Devamını Göster*** SAĞLIKLI YAŞAM REHBERİ Hastalıklar Çeşitleri Özellikleri Sağlık İçin Minik Notlar Sigaranın Zararları Sigarayı Bırakma Yolları Şifalı Bitkiler Listesi Şifalı Bitki Karışımları ***Devamını Göster***