Eğitim Öğretim İle İlgili Belgeler > Konu Anlatımlı Dersler > Matematik Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar

Pİ SAYISI NEDİR, ÖZELLİKLERİ, AÇIKLAMASI, AÇILIMI, BULUNMASI İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER, SORULAR)

Pi her zaman matematikçiler ile bilim insanlarının merak ve ilgisini uyandırmıştır. Pi, dairenin çevresinin çapına oranıdır; aşkın (transandant) bir sayıdır.

Pi =

3.141592653589793238462643383279502

884197169399375105820974944

592307856406286208998628034825342

11706798214808651328

230664709384460955058223

17253594081284811174502841027.....

Binlerce yıldır insanlar Pi'nin daha çok ondalık basamağını hesaplamaya çalışıyor. Örneğin, Arşimet bir dairenin içine çizdiği çokgenin kenar sayısını artırarak ?'nin 3 1/7 ile 3 10/71 arasında olduğunu yaklaşık olarak hesaplamıştı. Krallık tarihçelerinde ? 3 olarak gösterilir. Bunu Mısırlı matematikçiler yaklaşık 3,16 olarak bulmuştu. MS.150'de Batlamyus 3,1416 olarak hesaplamıştı.

Arşimetin yaklaşık olarak kullandığı hesap yöntemi, ?'ye daha yaklaşık bir sayı bulabilmek için sürdürülebilirdi. Diferansiyel ve integral hesap bulunduktan sonra bu tür hesaplama yerine, yakınsak sonsuz seriler, çarpımlar ve sürekli kesirlerle yaklaşılmaya çalışıldı.

Örneğin:

? = 4/(1+12/(2+32/(2+52+(2+72/(...)))))

Pi'yi hesaplamak için kullanılan en ilginç yollardan birini 18.yy'da Fransız doğa bilimci Buffon kullanmıştır. Bir düzlem araları d birim olan paralel çizgilerle ayrılmıştır. Uzunluğu d'den kısa olan iğne, bu çizgili düzleme düşürülür. Eğer iğne bir çizginin üzerine düşerse, iyi atış olarak kabul edilir.

Buffon'un şaşırtıcı buluşu, iyi atışların kötü atışlara oranının ?'yi içeren bir ifade olmasıdır. Eğer iğnenin uzunluğu d birimse iyi atış olasılığı 2/? idi. Atış sayısı artırıldıkça sonuç ?'ye daha çok yaklaşıyordu.

1901'de İtalyan matematikçi Lazzerini 3408 atış yaparak ?'nin değerini 3,1415929 olarak hesapladı ki bu ondalık basamağa kadar doğrudur. ?'yi hesaplamak için başka bir olasılık yöntemi 1904'te R.Charles tarafından bulundu. Buna göre, rastgele yazılan iki sayının göreceli asal olmalarının olasılığı 6/pi'dir.

Elbette çoğu kişi için Pi'nin değerini 4 ondalık basamağa kadar bilmek günlük yaşam için yeterlidir.

Bilim insanlarını hesapları içinse şu kriter verilebilir : Dünya ile Ay arasındaki mesafeyi kıl payı hatayla ölçmek için ?'nin 40 ondalık (bilgi yelpazesi.net) basamağını kullanmak yeterlidir.

İngiliz matematikçi William Shanks 20 yıl boyunca hesaplamalar yaptıktan sonra ?'nin değerini 707 ondalık basamağa kadar buldu; ama, ne yazık ki 528. basamakta 1945 yılına kadar keşfedilemeyen bir yanlış yapmıştı.

Neden Pi'yi milyonlarca basamağa kadar hesaplamaya çalışıyoruz?

Bu bilgisayarların hız ve hassasiyetini ölçmek için kullanılabiliyor.

Hesaplama yöntemler, algoritmalar, yeni düşüncelerin, yaklaşımların ve kavramların ortaya çıkmasını sağlıyor.

Pi'nin şimdiye kadar bulunan ondalık basamaklarında e 'nin 6 ondalık basamağı 8 defa geçer.

Pi'nin 8 basamağı ?'nin 52 638. basamağından itibaren bulunur.

Pi'nin ilk altı basamağı, ?'nin ilk onmilyon ondalık basamağında en az 6 kez yinelenir...

Pi Sayısının 1000 Basamaklı Açılımı=

3,141592653589793238462643383279502884197

16939937510582097494459230781640628620899

86280348253421170679821480865132823066470

93844609550582231725359408128481117450284

10270193852110555964462294895493038196442

88109756659334461284756482337867831652712

01909145648566923460348610454326648213393

607260249141273 7245870066063155881748815

20920962829254091715364367892590360011330

53054882046652138414695194151160943305727

03657595919530921861173819326117931051185

48074462379962749567351885752724891227938

18301194912983367336244065664308602139494

63952247371907021798609437027705392171762

93176752384674818467669405132000568127145

26356082778577134275778960917363717872146

84409012249534301465495853710507922796892

58923542019956112129021960864034418159813

62977477130996051870721134999999837297804

99510597317328160963185950244594553469083

02642522308253344685035261931188171010003

13783875288658753320838142061717766914730

35982534904287554687311595628638823537875

93751957781857780532171226806613001927876

6111959092164201989...

Pi Sayısının Pisagor Bağıntısından Yararlanılarak Bulunması:

1-   KENAR SAYISI OLMAK ÜZERE, BİR DAİRE İÇİNDE KİRİŞ OLUŞTURAN BİR KENAR UZUNLUĞUNUN 4, 8, 16, 32 GEN'LER OLUŞTURACAK ŞEKİLDE ÇOĞALTILIP ELDE EDİLEN UZUNLUKLARIN  İLE ÇARPIMININ, ÇAPA BÖLÜNEREK  NİN BULUNMASI.

BİRİM 2r=1

2-   KENAR SAYISI OLMAK ÜZERE BİR DAİRE İÇİNE ÇİZİLEN EŞKENAR ÜÇGENİN DAİRE İÇİNDE KİRİŞ OLUŞTURAN BİR KENAR UZUNLUĞUNUN 3, 6, 12, 24 GEN'LER OLUŞTURACAK ŞEKİLDE ÇOĞALTILIP ELDE EDİLEN UZUNLUKLARIN   İLE ÇARPIMININ, ÇAPA BÖLÜNEREK  SAYISININ BULUNMASI.

BİRİM 2r=1

3- BİRİM DAİRE İÇİNE ÇİZİLEN KARE'NİN ALANINDAN YARARLANILARAK, BİRİM DAİRENİN ALANININ HESAPLANARAK r² 'YE BÖLÜNEREK SAYISININ BULUNMASI.

BİRİM 2r=1

4- BİRİM DAİRE İÇİNE ÇİZİLEN EŞKENAR ÜÇGENİN ALANINDAN YARARLANILARAK, BİRİM DAİRENİN ALANININ HESAPLANARAK r² 'YE BÖLÜNEREK  SAYISININ BULUNMASI.

BİRİM 2r=1

5- TÜM BU İŞLEMLERDEN SONRA  SAYISININ BULUNABİLMESİ İÇİN GENEL İFADE YAZMAK İSTERSEK,

EŞİTLİĞİ ORTAYA ÇIKAR.

NOT:

YUKARIDAKİ FORMÜLLERDE  VS. İLE GÖSTERİLEN SAYILAR İŞLEM BELİRLİ BİR NOKTADA KESİLMEK İSTENDİĞİNDE İFADENİN SON (bilgi yelpazesi.net) OLARAK ÇARPILACAĞI KATSAYILARDIR. İŞLEM KESİLDİĞİ NOKTADAN ÖNCE FORMÜLÜN ALTINDA VERİLEN KATSAYILAR DİKKATE ALINMAMALIDIR.

DEVAM ETTİĞİNİZ TAKTİRDE  SAYISINA VARILIR.