Eğitim Öğretim İle İlgili Belgeler > Konu Anlatımlı Dersler > Matematik Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar

UZAY, UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEMLER, ÖZELLİKLERİ (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)

Bütün noktalar kümesine uzay denir.

Aksiyom:

“Doğrusal olmayan farklı üç noktadan sadece bir düzlem geçer”

Doğru ile Düzlemin Birbirine Göre Durumları:

1) Doğru düzlem içinde olabilir. (Yani doğrunun tüm noktaları aynı zamanda düzlemin de noktalarıdır.)

2) Doğru ile düzlem tek noktada kesişebilir.

3) Doğru düzleme paralel olabilir.(Yani doğru ile düzlem kesişmez.)

Aksiyom:

Bir doğrunun farklı iki noktası bir düzlemin de noktaları ise doğru düzlemin içindedir.

Düzlem Belirten Durumlar:

1) Doğrusal olmayan farklı 3 nokta;

2) Bir doğru ile dışındaki bir nokta;

3) Kesişen iki doğru;

4) Paralel iki doğrudan sadece bir düzlem geçer (yani bir düzlem belirtir)

Burada 1. ifade aksiyom diğer üçü ise teoremdir.

Örnek:

Uzayda herhangi üçü doğrusal olmayan kaç tane nokta 35 tane düzlem belirtir?

Çözüm:

Aradığımız nokta sayısı n olsun.

Uzayda doğrusal olmayan 3 nokta bir düzlem belirttiğine göre;

İki Düzlemin Birbirine Göre Durumları:

1) İki düzlem çakışık olabilir;

2) İki düzlem bir doğru boyunca kesişebilir;

3) İki düzlem paralel (yani kesişim kümeleri boş küme) olabilir.

Aykırı Doğrular:

Aynı düzlemde olmayan ve birbirini kesmeyen doğrulara aykırı doğrular denir.

Örnek:

Yukarıdaki şekilde ABCDA’B’C’D’ bir küptür.

Aşağıdaki soruları yukarıdaki şekle bakarak cevaplayalım:

a) AA’, BB’, CC’, DD’ doğruları ikişer ikişer birbirine …… dır.

b) ABC düzlemi ile ACD düzlemi …… dır.

c) AA’D düzlemi ile BCC’ düzlemi ……dır.

d) AB doğrusu ile C’D’ doğrusu …… dır.

e) ABC düzlemi ile AA’D’ düzleminin kesişim kümesi …… dır.

f) ABC’ düzlemi ile BCB’ düzleminin kesişim kümesi …… dır.

g) AA’ doğrusu ile CD doğrusu …… dır.

h) DBB’ düzlemi ile AA’C’ düzleminin kesişim kümesi …… dır.

Çözüm:

a) AA’, BB’, CC’, DD’ doğruları ikişer ikişer birbirine paralel dir.

b) ABC düzlemi ile ACD düzlemi çakışıktır.

c) AA’D düzlemi ile BCC’ düzlemi paraleldir.

d) AB doğrusu ile C’D’ doğrusu paraleldir.

e) ABC düzlemi ile AA’D’ düzleminin kesişim kümesi AD doğrusudur.

f) ABC’ düzlemi ile BCB’ düzleminin kesişim kümesi BC’ doğrusudur.

g) AA’ doğrusu ile CD doğrusu aykırıdır.

h) DBB’ düzlemi ile AA’C’ düzleminin kesişim kümesi EE’ doğrusudur.

Teorem Ve İspat:

Doğruluğu ispatlanabilen önermelere teorem, (bir teoremi p ve q birer önerme olmak üzere pq veya pq biçiminde (bilgi yelpazesi.net) ifade edebiliriz)

pq biçiminde ifade edilebilen bir teoremdeki p önermesine hipotez(varsayım), q önermesine de hüküm denir.

Not: Teoremleri ispatlarken çeşitli yöntemler kullanılabilir.

a) Doğrudan İspat

b) Dolaylı ispat

i) Olmayana Ergi

ii) Çelişki

iii) Aksine örnek verme … gibi.

c) Tümevarım

d) Tümden gelim … gibi.

Örnek:

“Yukarıdaki şekilde verilenlere göre IAEI=IAFI olduğunu ispatlayınız.” problemini;

a) pq biçiminde ifade ediniz

b) Doğrudan ispat ediniz.

c) Olmayana ergi yöntemiyle ispat ediniz.

Çözüm:

a) A köşesi dik olan bir ABC üçgeninin B açısının iç açıortayının [AD] yüksekliğini ve [AC] kenarını sırasıyla E ve F noktalarında kesiyorsa IAEI=IAFI dir.

Doğrudan ispat:

m(EBD)=m(EBA)=  ve m(BED)=  diyelim.

EBD ve ABF dik üçgen olduğundan; m(AFB)=  dır.

Öte yandan m(BED)=m(AEF)=  (ters açılar)

Böylece AEF üçgeni ikizkenar olup IAEI=IAFI olur.

Olmayana Ergi Yöntemiyle ispat:

Varsayalım ki IAEIIAFI olsun. AEF üçgeninin taban açılarından birisi  diğerine  diyelim.  olmalıdır.

BED dik üçgen olduğundan  dir.

ABF üçgeninde  olması gerekir.Bu ise ABF üçgeninin dik üçgen olmadığı anlamına gelir ki du ise hipoteze aykırıdır.

Buna göre IAEI=IAFI olmak zorundadır.

Örnek:

A köşesi dik açı ve m(C) = 22,5⁰ olan bir dik üçgenin hipotenüse ait yüksekliği h ve hipotenüsünün uzunluğu a ise  olduğunu ispatlayınız.

Doğrudan ispat:

Önce şekli probleme uygun aşağıdaki gibi çizelim.

m(CAK)=22,5⁰ lik bir açı çizelim.

m(HKA)=45⁰ olduğundan AHK ikizkenar dik üçgeninde IAKI=  dır.

AKH ikiz kenar üçgeninde IKCI=IAKI=

Ayrıca KAB de ikizkenar üçgen olup IAKI=IBKI=

Böylece IBCI=a=2  birim bulunur.

Problemler:

1. Bir (E) düzlemi veriliyor.

düzlemi en az sayıda ve en çok sayıda kaç bölgeye ayırdığını sayınız. Doğru sayısı ile bölge sayıları arasında bir ilişkinin olup olmadığını tartışınız.

e) Düzlemde d

  gibi n tane doğrunun düzlemi en az ve çok kaç bölgeye ayırdığını tahmin edip tahmininizi ispatlayınız.

2. Bir düzlemde verilen 11 farklı doğru düzlemi en az ve en çok kaç bölgeye ayırır.

3. Bir düzlemde verilen kaç tane farklı doğru düzlemi en çok kaç 191 bölgeye ayırır?.

4. Bir düzlemde verilen farklı doğrular düzlemi en az 23 bölgeye ayırdığına göre bu doğruların tamamı kullanılarak;

a) Düzlemi en çok kaç bölgeye ayırır?

b) Bu durumda doğrular kaç noktada kesişir?

5.

Yukarıdaki şekilde ABC üçgen biçimindeki bir arazi parçası BC kenarı m tane nokta ile AB kenarı da n tane nokta ile işaretleniyor.

Acaba toplam kaç parsel (bölge) oluşmuştur?

6. Aşağıdaki önermelerin doğru olup olmadıklarını belirtiniz.

a) Bir noktadan sonsuz sayıda doğru geçer

b) Farklı iki noktadan sadece bir doğru geçer

c) İki doğru kesişmiyorsa paraleldir.

d) Bir doğruya dışındaki bir noktadan sadece bir paralel doğru çizebiliriz.

e) Üç nokta bir doğru belirtiyorsa bu noktalar doğrusaldır

f) Bir doğruya üzerindeki bir noktadan sadece bir dik doğru çizebiliriz.

7. Uzayda verilen 8 nokta

a) En çok kaç doğru belirtir

b) En çok kaç düzlem belirtir

8.

a) Uzayda birbirine paralel 5 doğru, bir A noktasında kesişen 6 doğru olmak üzere 11 doğru veriliyor. Bu doğruların A dan (bilgi yelpazesi.net) başka bir noktada kesişmediklerine göre en çok kaç düzlem oluşur?

b) Uzayda bir B noktasında kesişen 7 doğru ile herhangi 8 nokta veriliyor. Bu geometrik nesneler kullanılarak en çok kaç düzlem belirtilebilir?

9.

Yukarıdaki şekilde ABC ve ADE üçgenleri birer eşkenar üçgen olduğuna göre; m(DCE)=120⁰ olduğunu ispatlayınız.

10. Bir açısı 75⁰ olan bir dik üçgen veriliyor.

a) Hipotenüs uzunluğunun, hipotenüse ait yüksekliğinin 4 katı olduğunu,

b) tan 75⁰ = 2 + 3 olduğunu uygun şekil çizerek ispatlayınız.