Eğitim Öğretim İle İlgili Belgeler > Konu Anlatımlı Dersler > Matematik Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar

ÇEMBERİN ÇEVRESİ, ÇEMBERİN ALANI, Pİ SAYISI, PİSAGOR TEOREMİ, ÖZELLİKLERİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIM (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER, SORULAR)

 

Bu yazıda, r yarıçaplı bir çemberin çevresinin neden 2r, alanının neden r2 olduğunu göreceğiz. İlkokuldan beri ezberletilen bu formüllerin kanıtlarını merak etmemiş olabilirsiniz. Ne yazık ki okullarda – salt Türkiye’de değil, dünyanın hemen hemen her yerinde ve özellikle matematik derslerinde – öğrenciler sorgulamaya teşvik edilmezler.

 

Öğretmenin dediği kabul edilir.

 

Yazının ortalarında 3 <  eşitsizliğini kanıtlayacağım. Hemen, “çok kolay” deyip kaleme kâğıda sarılmayın. 3 <  eşitsizliğini kanıtlamak için ’nin tanımını bilmek gerekir. ’nin tanımını biliyor musunuz? Sanmıyorum. Okullarda pek öğretilmez. Bu eşitsizliği kanıtlamak için okullarda öğretilen  = 3,14 yada  = 22/7 gibi (doğru olmayan) bilgiler kullanılmamalıdır. Yazının 8. bölümünde ‘nin tanımını vereceğim. O tanım okunduktan sonra 3 <  eşitsizliği kanıtlanmalıdır, daha önce değil.

 

Çok basit matematikten başlayacağız. Önce ünlü Pisagor ve Tales teoremlerini kanıtlayacağız. Bu biraz zaman alacak. Bu yüzden, Pisagor ve Tales teoremlerini ve kanıtlarını bilen okur, dilerse, doğrudan beşinci bölüme gidebilir.

 

 

1. Üçgenin Alanı:

 

Yüksekliği h, tabanı b olan bir üçgenin alanı bh/2’dir.

 

Bu formülü bilmeyen lise fen bölümü öğrencileri tanıdım ne yazık ki. Öte yandan, geçenlerde gittiğim özel bir ilkokulun beşinci sınıf öğrencileri hem formülü hem de kanıtını biliyorlardı. Sevindim elbet. Ama eğitimdeki eşitsizliği bir kez daha görüp üzüldüm de.

 

İlkokul öğrencilerinin anlayabileceği bu kanıt bir şekille açıklanabilir.

 

 

Üçgeni yukardaki şekillerdeki gibi “ikiyle çarpalım.” Böylece, yüksekliği h, tabanı b olan bir dikdörtgen elde ederiz. Dikdörtgenin alanı bh olduğundan, üçgenin alanı bh/2’dir.

 

 

2. Pisagor Teoremi.

 

Pisagor teoremi, Bir diküçgenin dik açısının kenarlarının uzunluklarının karelerinin toplamı öbür kenarın uzunluğunun karesine eşittir, der. Şekille söylemek gerekirse,

 

 

Bu teoremi kanıtlayacağız şimdi. Uzunluğu c olan kenara bir kare inşa edelim:

Yamuk duran karenin bir kenarının uzunluğu c’dir, demek ki alanı c2’dir. Şimdi aynı alanı başka türlü hesaplayacağız.

 

Karede dört üçgen var ve herbirinin alanı ilk üçgenimizin alanına eşit, yani her üçgenin alanı ab/2. Yamuk karenin içinde bu dört üçgenden başka, bir de küçük kare var. Bu küçük karenin her kenarı b – a olduğundan alanı (b – a)2’dir.

 

Sıra Tales teoremini kanıtlamaya geldi. Tales’in teoremini iki aşamada kanıtlayacağız.

 

 

3. Tales’in Teoremi (1):

 

Aşağıdaki şekilde  eşitliği geçerlidir.

 

 

AH’C’ üçgeninin alanını iki türlü hesaplayacağız.

 

Bu alan, her şeyden önce, AH’xH’C’/2’ye eşittir.

 

Aynı zamanda AHC üçgenininin, HCTH’ dikdörtgeninin ve CTC’ üçgeninin alanına eşittir, yani,

ye eşittir.

 

Demek ki,

eşitliği doğru. Bu eşitlikte,

koyalım, çarpıp sadeleştirelim, istediğimiz eşitliği elde ederiz.

 

 

4. Tales’in Teoremi (2):

 

Aşağıdaki şekilde AC/HC = AC’/H’C’ eşitliği geçerlidir.

 

Yukardaki teoremi ve Pisagor teoremini kullanacağız:

 

 

Şimdi iki tarafın da karekökünü alarak dilediğimiz eşitliği kanıtlayabiliriz.

 

 

5. Düzgün Çokgenler.

 

Bir çembere düzgün çokgenlerle yakınsayabiliriz. Örneğin, çemberin içine yerleştirilen bir düzgün sekizgenin çevresi, çemberin çevresine oldukça yakındır.

 

 

Eğer çemberin içine bir düzgün onaltıgen yerleştirirsek, çembere daha da yaklaşmış oluruz.

 

Çokgenin kenar sayısını ne kadar çok artırırsak, çembere o kadar çok yakınsarız. Çokgenin çevresi, çemberin çevresinden her zaman daha küçüktür, ama aradaki fark kenar sayısı arttıkça küçülür, öyle ki “sonsuzda” bu iki çevre birbirlerine eşit olurlar. Bir başka deyişle, çember, bir düzgün sonsuzgendir.

 

Aynı şey çemberin içerdiği alan, ki ona “daire” denir, için de geçerlidir. Düzgün çokgenin alanı, kenar sayısı arttıkça, dairenin alanına yakınsar ve “sonsuzda” iki alan birbirine eşit olur.

 

 

6. ’nin Tanımı.

 

Pek yakında r yarıçaplı bir çemberin çevresinin 2r olduğunu kanıtlayacağız. Bir an için bunu bildiğimizi varsayarsak, bir çemberin çevresi yarıçapına böldündüğünde 2 elde edildiğini görürüz. Bu, bütün çemberler için geçerlidir. Yani herhangi bir çemberi yarıçapına bölersek, hep aynı sayıyı, bir sabiti (2’yi) elde ederiz.

 

Bunu kanıtlayalım.

 

Kanıttan hemen sonra  sayısını tanımlayacağız.

 

Aynı merkezli iki çember ele alalım. Bu çemberlerin içine düzgün çokgenler oturtalım:

 

 

Çokgenlerin kenar sayısına n diyelim. Her ne denli n şekilde 8 ise de, biz n’nin çok, ama çok büyük, “sonsuza yakın” (ne demekse!) bir sayı olduğunu varsayalım.

 

Küçük çemberin çevresine , büyük çemberin çevresine ’ diyelim. Küçük çemberin çapına r, büyük çemberin çapına da r’ diyelim. Ve (bilgi yelpazesi.net) küçük çokgenin çevresine , büyük çokgenin çevresine * diyelim.

 

Üçgenlerden birini büyültelim:

Elbette,

r = AB ve r’ = AB’

ile

(1)

eşitlikleri geçerlidir.

 

Birazdan  eşitliğini kanıtlayacağız.

 

*, aşağı yukarı *’ye, yani n  BC’ye eşit. n büyüdükçe BC küçülüyor ve n x BC sayısı *’ye yakınsıyor.

 

Demek ki

 

 (2)

 

ve

 

 (3)

aşağıyukarılıkları geçerlidir.

 

Şimdi (1), (2) ve (3)’ü kullanarak hesaplayalım:

 

Böylece  eşitliği kanıtlanmış oldu.

 

Demek ki, herhangi bir çemberin uzunluğunu yarıçapına bölersek hep aynı sayıyı buluruz yani /r sayısı, çember ne olursa olsun, değişmez, hep aynıdır, bir sabittir. Hiç değişmeyen bu /r sabitinın yarısı da, yani /2r sayısı da bir sabittir. Bu sabite özel bir ad verelim: . İşte şimdi ’yi tanımladık:

 

* = /2r. (4)

 

 

7. “3 < ” Eşitsizliği.

 

’yi tanımladık ama değerini bilmiyoruz. Yukardaki tanımdan hareket ederek, 3 <  eşitsizliğini kanıtlayalım.

 

Bir dairenin içine düzgün bir altıgen yerleştirelim.

 

 

Dairenin yarıçapı r olsun. Demek ki dairenin çapı 2r. Tanıma göre, dairenin çevresini 2r’ye bölersek ’yi elde ederiz. Bir başka deyişle, dairenin çevresi 2r’ye eşittir. Öte yandan düzgün altıgenin çevresi 6r.

 

Düzgün altıgenin çevresi dairenin çevresinden daha küçük olduğundan 6r < 2r elde ederiz. Sadeleştirirsek, 3 <  bulunur, ki bu da bizim kanıtlamak istediğimiz eşitsizliktir zaten.

 

Bu kanıtı biraz daha az sözle şöyle gösterebiliriz:

 

Dairenin Çevresi = 2r

 

Altıgenin Çevresi = 6r

 

Demek ki 6r < 2r

 

Yani 3 < .

 

 

8. Çemberin Çevresi.

 

r yarıçaplı bir çember ele alalım. Bu çemberin çevresine  diyelim.

 

Üçüncü bölümdeki tanıma göre  = /2r’dir. Demek ki  = 2r’dir! Çemberin çevresinin formülünü bulduk.

 

 

9. Dairenin Alanı.

 

Şimdi, r yarıçaplı bir dairenin alanını bulalım. Alanın r2’ye eşit olduğunu kanıtlayacağız. Yukarda yaptığımız gibi daireye bir çokgen yerleştirelim, yani daireyi üçgenlere bölelim.

 

 

Üçgen sayımıza n diyelim. Her ne denli şekilde n, 8’e eşitse de, aslında n çok büyük bir sayı, sonsuza yakın! Çokgenin çevresi n, alanı da An olsun. Çemberin çevresi , alanı A olsun. n ne kadar büyükse n ve An sayıları  ve A’ya o kadar yakındır. Üçgenlerin yüksekliğine h, tabanına b diyelim. Her üçgenin alanı bh/2’dir. n tane üçgen olduğundan, çokgenin alanı nbh/2’dir.

 

Demek ki

An = nbh/2

eşitliği geçerlidir.

 

Öte yandan h aşağı yukarı r’ye eşittir.

 

Yukardaki eşitlikteki h yerine r’yi koyarsak,

An  nbr /2

elde ederiz. Ama nb çokgenin çevresine, yani n’ye eşit.

 

Yukardaki aşağıyukarılıktaki nb yerine

*n koyalım.

An  r*n/2

elde ederiz.

 

Şimdi n’yi sonsuza götürelim. O zaman An sayısı A’ya, *n sayısı da *‘ye dönüşür ve yukardaki aşağı yukarılık,

A = r*/2

eşitliğine dönüşür.

 

Yukarda

* = 2r

eşitliğini kanıtlamıştık.

 

A = r*/2 formülündeki * yerine 2r koyalım:

A = r(2r)/2 = r2

elde ettik. Çemberin alanını bulduk.

 

 

10. ’nin Değeri.

 

Yazının süreğinde  sayısının nasıl hesaplanacağına ilişkin birkaç ilginç bilgi vereceğim. Vereceğim bu bilgileri burda kanıtlamama olanak (bilgi yelpazesi.net) yoktur, bunlar ancak üniversite düzeyinde kanıtlanabilir.

 

Aşağıdaki sonsuz toplama bakalım:

1/1 –1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 –1/11 + ...

 

Bu sonsuz toplam sonlu bir sayıdır. Bu sonlu sayı, sıkı durun, /4’e eşittir.

 

Yani,

* = 4 x (1/1 –1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 –1/11 + ...)

eşitliği geçerlidir.

 

Yavaş yavaş hesaplayalım bu toplamı.

 

 

 

Elde ettiğimiz sayılar (bunlara kısmi toplamlar denir) bir büyür bir küçülür ve sonsuza ne denli yaklaşırsak, bu sayılar ’ye o denli yakınsarlar. Bilgisayarımda biriki hesap yaptım, işte sonuçları:

 

 

 

*’ye yakınsamak için başka formüllerden de yararlanabiliriz.

 

İşte bu formüllerden bir başkası:

 

*/4 = (2/3x4/3)(4/5x6/5)(6/7x8/7)(8/9x10/9) (10/11x12/11)...

 

Bu, sonsuz bir çarpımdır. Bu sonsuz çarpım şöyle de yazılabilir:

*/4 = 8/9 x 24/25 x 48/49 x 80/81 x 120/121...

 

Yani,

* = 4 x 8/9 x 24/25 x 48/49 x 80/81 x 120/121...

 

Bu terimlerin birkaç tanesini elle çarpalım:

 

 

Hep 1’den küçük bir sayıyla çarptığımızdan sayılar gittikçe küçülürler. Bu çarpımı sonsuza dek yapabilirsek, sonsuzda tam tamına  sayısını buluruz. Bilgisayarıma hesaplattırdım ve aşağıdaki sonuçları buldum:

 

 

Bundan sonraki sayılar değişmiyor, çünkü bilgisayarımda virgülden sonra ancak altı hane gidebiliyorum. Daha sonraki çarpımlar 0,999999... olduğundan bilgisayarım bu sayıyı 1 sanıyor.

 

(Bir komutla virgülden sonra istediğim kadar gidebilmeliyim, ama komutu bilmiyorum.)

 

Bu formüle Wallis formülü denir.

 

*’yi şu formülle de hesaplayabiliriz:

 

*2/8 = 1/12 + 1/32 + 1/52 + 1/72 + 1/92 + ...

 

Gariptir...

 

*’yi hesaplamanın bir başka yolu da aşağıdaki formülü kullanmaktır:

yani

 

Bu seri *’ye yukardakilerden çok daha hızlı yakınsar.

 

Örneğin, daha birinci terimde,

sayısını buluruz, gerçek *’ye oldukça yakın. Bunun kısmi toplamlarını hesaplayalım:

 

 

Bilgisayarım bundan sonra hep aynı sayıyı veriyor. Bu son formül 1962 yılında Shanks ve Wrench tarafından bulunmuştur.

 

*’nin virgülden sonra, diyelim 216ıncı rakamını hesaplamak için formüller de vardır. Ama ne yaparsak yapalım, *’yi hiçbir zaman tam olarak bulamayız, ama *’ye (kesirli sayılarla) dilediğimiz kadar yakınsayabiliriz.

 

MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR
" SAYFASINA GERİ DÖNMEK İÇİN
>>>TIKLAYIN<<<

KONU ANLATIMLI DERSLER " SAYFASINA GERİ DÖNMEK İÇİN
>>>TIKLAYIN<<<

MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ TEST SORULARI SORU BANKASI "
SAYFASINA GEÇMEK İSTERSENİZ
>>>TIKLAYIN<<<

MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ YAZILI SORULARI "
SAYFASINA GEÇMEK İSTERSENİZ
>>>TIKLAYIN<<<

"
EĞİTİM ÖĞRETİM İLE İLGİLİ BELGELER
” SAYFASINI GÖRMEK İSTERSENİZ
>>>TIKLAYIN<<<

Yorumlar

....

9. **Yorum**
->Yorumu: şahane bir site burayı sevdimm 
->Yazan: Buse. Er 

8. **Yorum**
->Yorumu: SIZIN SAYENIZDE YÜKSEK BIR NOT ALDIM SIZE TESSEKÜR EDIYORUM...
->Yazan: sıla

7. **Yorum**
->Yorumu: valla bu site çok süper .Bu siteyi kuran herkimse Allah razi olsun tüm ödevlerimi bu siteden yapiyorum.saolun mugladan sevgiler...:).
->Yazan: kara48500..

6. **Yorum**
->Yorumu: çok güzel bir site. kurucularına çok teşekkür ederim başarılarınızın devamını dilerim.
->Yazan: Tuncay.

5. **Yorum**
->Yorumu: ilk defa böyle bi site buldum gerçekten çok beğendim yapanların eline sağlık. 
->Yazan: efe .

4. **Yorum**
->Yorumu: ya valla çok güzel bisi yapmışınız. Çok yararlı şeyler bunlar çok sagolun 
->Yazan: rabia..

3. **Yorum**
->Yorumu: Çok ii bilgiler var teşekkür ederim. Çok süper... Ya bu siteyi kurandan Allah razı olsun ..... süperrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr. Çok iyiydi. isime yaradı. Her kimse bu sayfayı kurduğu için teşekkür ederim 
->Yazan: pınar..

2. **Yorum**
->Yorumu: çok güzel site canım ben hep her konuda bu siteyi kullanıyorum özellikle kullanıcı olmak zorunlu değil ve indirmek gerekmiyor
->Yazan: ESRA..

1. **Yorum**
->Yorumu: Burada muhteşem bilgiler var hepsi birbirinden güzel size de tavsiyeederim. 
->Yazan: Hasan Öğüt.

>>>YORUM YAZ<<<

Adınız:
Yorumunuz:


Yorumunuzda Silmek istediğiniz kelime veya cümle varsa kelimeyi fare ile seçin
ve
delete tuşuna basın...

 


 E Mail
(Zorunlu Değil):