Eğitim Öğretim İle İlgili Belgeler > Konu Anlatımlı Dersler > Matematik Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar

DİSKRİMİNANT, DİSKRİMİNANT ÖZELLİKLERİ, FORMÜLLERİ (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER, SORULAR)

Liseden mezun olan birinin ‘’diskriminant’’ terimini duymamıs olmasına imkan yok. İnanmıyorsanız çekin birini sorun, göreceksiniz, ‘’tabi ki duydum’’ diyecektir. Ama bir de diskriminantın ne olduğunu sorun bakalım.

Simdi dogruyu söyleyecegini garanti edemem ama. Muhtemelen b² − 4ac diyecektir.

Dedigi, aslında dediği degil de anlatmak istedigi, hem dogru hem yanlıs. Eger ax² + bx + c seklindeki ikinci dereceden polinomlar için söylemisse elbet dogru ama ya diger polinomlar ne olacak? Onların bası kel mi? İkinci dereceden denklemlerin var da onların diskriminantı yok mu?

Bu yazımızda tüm polinomların diskriminantlarını bulmak için gereken formülleri verecegiz ayrıca ne ise yaradıklarına da deginecegiz. Peki, kanıtlayacak mıyız, hayır, sadece bir gün bir denklem bizi çıldırtırsa, kökleri hakkında bir fikir edinebilmek için bu yazıyı bilgisayarımızda veya kütüphanemizde saklayacagız.

Bir polinomun diskriminantının tek ama tek önemi isaretidir. Eger pozitifse, o polinomun (sıfıra esitlenerek olusturdugu denkleminin) kökleri reel ve en az biri diger köklerden farklıdır. Eger diskriminant sıfırsa, tüm kökler yine reel ama tümü birbirlerine esittir. Eger diskriminant negatifse de denklemin köklerinden en az biri sanaldır.

Önce, ikinci dereceden denklemlerle baslayalım. Diskriminant ile tanıstıgımız ilk ana gidiyoruz.

ax² + bx + c = 0 denklemine a  0 oldugu sürece ikinci dereceden denklem denir. Simdi bu denklemi saglayan degerleri, yani denklemin köklerini bulacagız. Daha önce tüm ikinci dereceden denklemleri olmasa da tamkare olan ikinci dereceden denklemleri çözmeyi ögrenmistik.

İste o yüzden, yani tamkare yapmak amacıyla, denklemi a parantezine alıyoruz ki, baskatsayı 1 olsun.

olduğundan ve a  0 olduğunu bildiğimizden

çıkar. Bundan da

çıkar. Umudunu kesme, devam! Her iki tarafın karekökünü alalım:

olur. x’i yalnız bırakırsak mutlu sona erişeceğiz:

çıkar. Nihayet!

Biri artılı, digeri eksili olmak üzere iki çözüm bulduk. Bundan böyle birinin adı ‘’x₁’’, diğerinin ‘’x₂’’ olsun.

Köklerin formülünde beliren köklü ifadenin içindeki b² – 4ac değerine denklemin diskriminantı denir ve  sembolü ile gösterilir ve ‘’delta’’ diye okunur. O halde kökler

seklinde daha kolay hafızada tutulası olur. b’ye ve a’ya göre burada  daha önemlidir. Çünkü  karekök içinde. Digerleri her degeri alabilir ama ’nın böyle bir hakkı yok. Var da yok. Yani köklerin reel olabilmesi için yok.  ifadesi karekökün içinde bulunduğundan, denklemin köklerinin reel sayı olması için  negatif olmamalıdır. Peki,  sıfır olursa n’olur, bir düşünün bakalım. Düşünmeye ne gerek var,

x₁ = x₂ =

olur.

Yani denklemin reel iki kökü birbirine eşit olur, bu durumda iki tane degil, tek kökü var deriz. Ki tek kökü olan ikinci dereceden denklemler de bildiğiniz üzere tamkare olurlar.

Geldik ’nın negatif olma durumuna. Karekökün içi negatif olursa, o sayının reel olmadıgını, olamayacagını biliyoruz. O halde, <0 durumunda (bilgi yelpazesi.net) , denklemin reel kökü yoktur deriz. Dikkat edin, kökü yoktur demiyoruz, reel kökü yoktur diyoruz.

Zira bir ikinci dereceden denklemin her zaman iki tane kökü vardır ama bazen burada oldugu gibi kökler reel degil de sanal sayı olurlar.

ax² + bx + c = 0 denkleminde a ile c ters isaretliyse, kesinlikle farklı iki reel kök vardır. Çünkü farklı iki reel kök olabilmesi için  = b² – 4ac > 0 olması yeter. Verilene göre –4ac > 0 ve b’nin her degeri için

b²  0 olduğundan  = b² – 4ac > 0 eşitsizliği kanıtlanmış olur. Fakat buradan ‘’a ile c aynı işaretliyse, denklemin iki farklı reel kökü olamaz’’ anlaşılmamalıdır. Biz sadece a ile c ters işaretlilerse kesin böyledir diyoruz.

Simdi merakla beklenen, üçüncü dereceden ve daha büyük dereceden polinomların diskriminantlarını öğrenmeye geldi sıra.

Çok bekletmeyeyim:

Örnek 1. x³ − 2x² − x + 2 polinomunun diskriminantına bakalım.

oldugundan üç kökü de reeldir.

Örnek 2. x³ − 3x² + 3x − 1 = 0 polinomunun diskriminantına bakalım.

Oldugundan üç kökü de reel olup, birbirlerine esittirler.

Örnek 3. x³ + x² + x + 1 polinomunun diskriminantına bakalım.

oldugundan en az bir kökü sanaldır.

Genel olarak,

Polinomunun diksriminantı: