Eğitim Öğretim İle İlgili Belgeler > Konu Anlatımlı Dersler > Matematik Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar

DÖRTGENLER, DÖRTGENLERİN ÇEŞİTLERİ (PARALEL, EŞKENAR DÖRTGENLER), ÖZELLİKLERİ (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)

Tanım: Herhangi üçü doğrusal olmayan dört noktanın dört doğru parçasıyla birleştirilmesinden elde dilen çokgene DÖRTGEN denir.

A,B,C,D noktalarına dörtgenin köşeleri [AB],[BC],[CD],[DA] doğru parçalarına ise kenarları denir.

ABCD dörtgenin kenar uzunluklarını [AB]=a , [BC]=b , [CD]=c , [DA]=d [AC] köşegen uzunluğunu e , [BD] köşegen uzunluğunu ise f ile göstereceğiz.(Şek.1)

*Dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 360⁰’dir.

m(A)+m(B)+m(C)+m(D)=3600

*Dörtgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 360⁰’dir.

m(A’)+m(B’)+m(C’)+m(D’)=360⁰

*Bir dörtgenin aynı kenara bitişik iki açının açıortayları arasındaki açının ölçüsü diğer iki açının ölçüleri toplamının yarısıdır.

*Bir dörtgenin karşılıklı iki açısının açıortayları arasındaki açılardan küçüğün ölçüsü, diğer iki açının ölçüleri farkının yarısıdır.

*Herhangi bir ABCD dörtgeninde [AC] [DB]= {P} , [AC]=e [BD]=f ise

*Herhangi bir ABCD dörtgeninde S1.S3 = S2.S4 tür. (Şek.5)

*Bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları bir ın köşeleridir. (Şek.6)

*Bir dörtgende karşılıklı iki açı dik ise, bu açıların bitişik kenar uzunluklarının kareleri toplamı birbirine eşittir. (Şek.7)

İspat: ADC üçgeninde  [AC]2 =[DA]2 + [DC]2

ABC üçgeninde   [AC]2 =[AB]2 + [BC]2

Buradan;

[AB]2 + [BC]2 = [DC]2 + [DA]2 elde edilir.

*Köşegenleri birbirine dik olan bir dörtgende karşılıklı kenar uzunluklarının kareleri toplamı birbirine eşittir. (Şek.8)

İspat: AOB üçgeninde [AB]2 = [AO]2 + [BO]2   DOC üçgeninde [DC]2 = [DO]2 + [OC]2 taraf tarafa toplanırsa

[AB]2 + [DC]2 = [AO]2 + [DO]2 +[BO]2 +[OC]2 (1)

AOD üçgeninde [AD]2 = [AO]2 + [DO]2   BOC üçgeninde [BC]2 = [BO]2 + [OC]2 taraf tarafa toplarsak

[AD]2 + [BC]2 = [AO]2 +[DO]2 + [BO]2 + [OC]2 (2)

(1)   ve  (2) eşitliklerinin sağ taraflarının eşit olduğunu görüyoruz. Öyleyse;

[AB]2 + [CD]2 = [BC]2 + [DA]2

*Bir dörtgende karşılıklı iki kenar ile köşegenlerin orta noktaları bir paralel kenarın köşeleridir. Bu paralel kenarın çevresi, dörtgenin diğer iki kenar uzunluğunun toplamı kadardır. (Şek.9)

İspat: E,F,G,H sırasıyla [AB],[BD], [CD] ve [AC]’nin orta noktalarıdır.

CAB üçgeninde EH // BC        CDB üçgeninde GF // BC  ise EF // GF (1)

DAC üçgeninde GH // DA       DAB üçgeninde EF // DA ise GH // EF (2)

(1) ve (2)’den EFGH paralel kenar olur. Bu paralel kenarın çevresi de [AD] + [BC] ‘dir.

*ABCD dışbükey dörtgeninin iç bölgesindeki herhangi bir nokta P ise (Köşegenlerin kesim noktası dışında);

[PA] + [PB] + [PC] + [PD] > [AC] + [BD] ‘dir. (Şek.10)

İspat: PAC üçgeninde [PA] + [PC] > [AC] ve PBD üçgeninde [PB] + [PD] > [BD] dir. Taraf tarafa toplarsak

[PA] + [PB] + [PC] + [PD] > [AC] + [BD] bulunur.

Not: P noktası (bilgi yelpazesi.net) köşegenlerin kesim noktası ise bu durumda  [PA] + [PB] + [PC] + [PD] = [AC] + [BD] olur.

*ABCD dörtgeninin [AC] ve [BD] köşegenlerinin orta noktaları E ve F, [EF]= x ,[BD]= f, [AC]= e ise

İspat: A ile F’ yi; F ile de C’ yi birleştirelim.[AF]= m,[FC]= n olsun.

(1) ve (2)’den

2 (m2+n2)=a2+b2+c2+d2-f2   (3)

FAC üçgeninde kenarortay teoremine göre

Buradan  4x2 = 2(m2+n2) -e2 yazılabilir.

2(m2+n2)   yerine (3)’de bulduğumuz eşitlikle yazarsak 4x2 = a2+b2+c2+d2-f2-e2 olur.

PARALEL KENAR

Karşılıklı kenarları birbirine paralel olan dörtgene paralel kenar denir. (Şek.12)

[AB] // [DC] ve [BC] // [AD]

Özellikleri:

1- Karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir. [AB]=[DC], [AD]=[BC]

2-Karşılıklı açıların ölçüleri eşittir. m(A)=m(C), m(B)=m(D)

3-Aynı kenara ait bitişik açılar birbirlerinin bütünleridir.

m(A)+m(B)=180,   m(B)+m(C)=180,    m(C)+m(D)=180,        m(D)+m(A)=180

4-Köşegenler birbirlerini ortalar.(Şek.13) [AO]=[OC],   [BO]=[OD]’dir.

5-Köşegenler paralel kenarı 4 eş alana ayırırlar.

*[DC] üzerinde alınan bir P noktasını A ve B ile birleştirdiğimizde elde edilen, PAB’nin alanı ABCD alanının yarısıdır. (Şek.14)

İspat: P den BC ye bir paralel çizelim. PE // AD // BC , PEBC bir paralel kenar olur.

A(PEB)=A(PBC) (1) ,

DAEP paralel kenarında A(PAE)=A(DAP)  (2).

(1) ve (2)’yi taraf tarafa toplayalım. A(PEB)+A(PAE)=A(PBC)+A(DAP)    A(PAB)=A(PBC)+A(DAP)

Buradan da

bulunur.

*Herhangi bir ABCD paralel kenarında [AF]=[DF], [BE]=[EC] ise [AK[=[KL]=[LC]’dir. (Şek.15)

İspat:   AKF ile CKB üçgenleri benzerdir.

Aynı şekilde CLE ile ALD üçgenleri de benzerdir.

[AF]=[CE] idi . Buradan AKF ile CLE üçgenleri de benzer olur. [AK]=[CL] bulunur. Böylece (1) ve (2)’den [AL]=[KC] [AL]=2[AK]=2[CL] den [AK]=[KL]=[LC] elde edilir.

*ABCD paralel kenarında köşegen uzunlukları e ve f, kenar uzunlukları a ve b ise

e2+f2 = 2(a2+b2) ‘dir. (Şek.16)

İspat: CAB üçgeninde kenarortay teoremini yazalım.

Buradan da e2+f2 = 2(a2+b2) bulunur.

*Bir paralel kenarın kenarlarını aynı yönde hareketle aynı miktarda uzattığımızda elde ettiğimiz dörtgen yine bir paralel kenardır.(Şek.17)

ABCD bir paralel kenar, [AA’]=[BB’]=[CC’]=[DD’] ise A’B’C’D’ bir paralel kenardır.

İspat: AA’B’ üçgeniyle CC’D’ üçgenleri benzerdir.(A.K.A) dan [A’B’]=[C’D’] olur. CBB’ ile de A’DD’ benzerdir. Buradan da [A’D’]=[C’B’] karşılıklı kenar uzunlukları eşit olan bir dörtgen elde edilir. Bu da paralel kenardır.

*ABCD paralel kenarında [EB]=[FC]=[GD]=[HA] ise EFGH dörtgeni bir paralel kenardır.(Şek.18)

İspat: AEH ile CGF ve EBF ile GDH üçgenleri benzerdir.(K.A.K)

Buradan da [HE]=[FG] ve (bilgi yelpazesi.net) de [EF]=[GH] elde edilir. Bu durum da EFGH bir paralel kenardır.

*(Şek.19)’da ABCD bir paralel kenar ise [DE]2=[EF].[EG]’dir.

İspat: DAE ile FCE üçgenleri benzerdir.

Buradan da [DE]2=[FE].[EG] elde edilir.

*Herhangi bir ABCD paralel kenarında

İspat:

*Şekil 21 deki gibi bir ABCD paralel kenarında [AE]=[EB] ve [DF]=[AF] ise

İspat:

EŞKENAR DÖRTGEN

Kenar uzunlukları birbirine eş olan dörtgene eşkenar dörtgen denir. (Şek.22)

*Paralel kenarın tüm özelliklerini taşır.

*Köşegenler birbirinin dik olarak ortalar. [AC] ^ [BD] [AO]=[OC] ve  [BO]=[OD]’dir.

*Köşegen (bilgi yelpazesi.net) uzunlukları

*Köşegenler açıortaydır.

*e2+f2 = 4a2 dir.

*Eşkenar dörtgenin alanı yükseklikle bir kenarın çarpımıdır. (Şek.23)

*Çevresi 4a’dır.

*Eşkenar dörtgenin iç bölgesinde alınan bir noktanın tüm kenarlar olan uzaklıkları toplamı 2h kadardır. (Şek.24)

[KE]+[KG]+[KF]+[KH]= 2h   ([HF]=[GE]=h )