Eğitim Öğretim İle İlgili Belgeler > Konu Anlatımlı Dersler > Matematik Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar

HAREKET PROBLEMLERİ, HIZ PROBLEMLERİ, YOL PROBLEMLERİ, ZAMAN PROBLEMLERİ, KARŞILAŞMA PROBLEMLERİ, YETİŞME PROBLEMLERİ (2) İLE İLGİLİ KONU ANLATIM (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER, SORULAR)

Birim zamanda gidilen yol, hız diye tanımlanmış.

Yani;

1 saatte 60 kilometre gitmişsek hızımız 60 km/s

olur.

1 dakikada 3 kilometre gitmişsek, hızımız 3 km/dk

olur.

1 saniyede 2 metre gitmişsek hızımız 2 m/sn olur.

Yol:l

Hız:v

Zaman: t olmak üzere

Hızı bulmak için ille de birim zamana göre aldığımız yolu hesaplamalıyız. Yani 3 saatte 90 kilometre gitmissek, hızımız 90 km/s olmaz. Hız için 3 saatte değil, 1 saatte aldığımız yol önemlidir.

Zaten öyle olsaydı 90 kilometrelik yolu 3 saatte de alsak, 7 saatte de alsak hızımızın 90 km/s olması gerekirdi ki ne kadar saçma bir hareket olduğuna artık siz karar verin.

Süre arttıkça gidecek yol artacağından (mantığımız öyle söylüyor), süre ile yol dogru orantılıdır.

Bu sebeple, 3 saatte 90 kilometre giden biri, 1 saatte 30 kilometre gidebileceğinden hızı 30 km/s’tir.

Simdi bu işlemleri genelleyelim:

Bir hareketli x birimlik bir yolu, t birimlik bir sürede almıs olsun Biz de bu hareketlinin hızı olan V’yi bulmaya çalısalım. Bize t birim sürede aldığı yol değil, 1 birim sürede aldığı yol lazım.

O halde,

t birim sürede x birim yol gidiyorsa,

1 birim sürede V birim yol gider diye bir orantı kurarsak, ki bu dogru orantıdır, hareketlinin hızının

olduğu çıkar.

İsteyen denklemi

veya

x = V.t gibi de ezberleyebilir ya da kullanabilir.

Ben olsam, x = V.t esitliğini seçerdim, çünkü kesirli ifadeleri bilgisayarda yazması zor oluyor :))))

x = V.t esitliğini kocaman bir kağıda kocaman kocaman yazıp, odanızın duvarına asın!

Yol:l

Hız:v

Zaman: t olmak üzere

Anneniz izin vermiyorsa da aklınızın bir kösesine yazın! Yani satırda değil, hatırda kalsın yeter! Tüm hız problemlerini çözecek olan bu denkleme ne kadar iltifat etsek azdır. Bu esitliği bilip de çözemeyeceğimiz hız problemi yoktur, inanmayan varsa sabretsin!.

Simdi ufak ufak soru-çözümlere başlayabiliriz:

Soru:

6x metrelik bir yolu, 3t dakikada giden bir hareketlinin hızını bulunuz.

Çözüm:

Bulmamız gereken hıza V diyelim.

Yol = Hız × Zaman

olduğundan

6x = V.3t olur.

Denklemden V’yi çekersek;

olarak bulunur.

Hızın birimi çok önemlidir. Bu soruda uzaklık metre, süre de dakika cinsinden verildiğinden hızın birimini m/dk olarak yazdık. Baska birimler verseydi, hızın birimi de ona göre değisirdi.

Bazen hızın birimini özellikle soruda verilen birimler dısında sorarlar. Birimler arasındaki geçisleri yapmayı iyi bilmeliyiz. Hemen bunla ilgili bir soru çözelim o zaman.

Soru:

5 saniyede 60 metre giden bir trenin hızı kaç km/s’tir?

Çözüm:

Dikkat ettiyseniz soruda verilen süre saniye, yol metre cinsinden ama trenin hızı kilometre ve saat cinsinden soruluyor. Saniyeyi saate, metreyi kilometreye çevirmeyi bilen için çocuk oyuncağı gibi bir sey. Bilmeyene ögretelim.

Unutana da hatırlatalım:

1 saat = 60 dakika = 3600 saniye

ve

1 kilometre = 1000 metre.

Trenimiz 5 saniyede 60 metre gidiyormus.

Bize 1 saatte yani 3600 saniyede gittiği yol lazım. Bir orantı kurun, dogru olsun, cevap 43200 metre çıkacaktır.

E, bu da 43,2 km demektir. O halde trenin hızı 43,2 km/s’tir.

Soru:

Bir araç 100 km.lik mesafeyi sabit bir hızla 5 saatte almaktadır.

Bu aracın hızını m/dk cinsinden bulunuz.

Yanıt: 1000/3

Soru:

300 metre uzunluğundaki bir tren, 200 metre uzunluğundaki bir tüneli sabit bir hızla 40 saniyede geçmistir. Bu trenin hızı kaç m/dk.dır?

Çözüm:

Bir trenin ilk vagonu tünelin içine girdiği anda, tren tünele girdi sayılır ama ilk vagon tünelden çıktığı anda tren tüneli geçti diyemeyiz. Allah (bilgi yelpazesi.net) göstermesin, o an tünelin yıkıldığını düsünün bakalım, tren tüneli geçmis olsa hiç altında kalır mıydı? Demek ki tren hem kendi boyu kadar hem de tünel boyu kadar ilerlemeli.

x = V.t olduğundan 300 + 200 = V.40 olur.

Burada uzunluk metre, süre saniye olduğundan

V = 12,5 m/sn olur.

1 saniyede 12,5 metre gidiyorsa 60 saniyede yani 1 dakikada 750 metre gider.

O halde

V = 750 m/dk’dır.

Bu tarz sorularda tren bazen tüneli değil de elektrik direğini filan geçer. Bu tip sorularda elektrik direğini kalınlıksız düsüneceğiz. Yani öyle olmasa da bunları ihmal edeceğiz.

Soru:

200 mt. uzunluğundaki bir tren, 300 mt. Uzunluğundaki bir tüneli sabit bir hızla 50 saniyede geçmistir.

Bu trenin hızı kaç m/dk’dır?

Yanıt: 600

Soru:

Her gün 6 saatte aldığı yolu, hızını 10 km/s arttırarak 5 saatte alan bir otobüsün eski hızı kaç km/s’tir? Ayrıca üsenmezseniz bu yolun uzunluğunu bulunuz.

Çözüm:

Otobüsün erken varma sebebi yolun kısalması değil, hızın artması. Yani dünkü yol, bugün de aynı yol. O zaman hem eski hızına göre, hem de yeni hızına göre

x = V.t denklemlerimizi kuralım.

Eski hızına V, yeni hızına V + 10 diyelim.

x = V.6 ve x = (V + 10).5

denklemleri esitlenirse 6V = 5(V + 10) çıkar ki, buradan V = 50 bulunur.

5lk sorunun cevabını bulmus olduk.

Simdi bunu canımızın istediği esitlikte yerine yazalım:

x = 6.V = 6.50 = 300 km’dir.

Soru:

Her gün belli bir yolu belli bir sürede alan hareketli, hızını 20 m/dk arttırınca bu yolu 2 dakika erken, 10 m/dk azaltınca 4 dakika geç kalıyorsa, bu yol kaç metredir?

Çözüm:

Her günkü hızı V m/dk, her gün bu yolda geçen süre de t dakika olsun.

Hızını arttırsa da azaltsa da yola bir sey olduğu yok.

Yol ne azalır, ne kısalır.

Hemen x = Vt esitliğini kuralım:

x = Vt = (V + 20)(t – 2) = (V – 10)(t + 4)

olur.

Parantezler açılırsa

x = Vt

x = Vt – 2V + 20t – 40

x = Vt + 4V – 10t – 40

çıkar.

–2V + 20t = 4V – 10t olduğundan

6V = 30t

yani V = 5t olur.

Simdi nerde V görürseniz gidin yerine 5t yazın.

x = 5t.t = (5t + 20)(t – 2) = (5t – 10)(t + 4)

olur.

Ben sizin yerinize t’yi buldum, t = 4 çıktı.

x = 5t² = 516 = 80 metredir.

4 saatte aldığı yolu, 3 saatte almak için hızını 10

km/s arttırmak zorunda olan hareketli var.

Yolun uzunluğu kaç km.dir?

Yanıt: 120

Aksilikler Olursa:

Bazen arabanın durduk yere arızalanacağı tutar. Veya adamın yolda mola veresi gelir. Veya hava kosullarından ötürü uçak rötar yapar.

Aksilik bu ya! Tam da gelir bizim sorumuzu bulur. Bu aksiliklerden dogan gecikmeler veya gecikmemek için hız arttırmalar, hız problemlerine çokça malzeme olur. Bu aksilikler o kadar önemli değil ama soruyu çözmenizde aksilik dogurursa o kötü! Mümkün olduğunca bol örnekle açıklamaya gayret edeceğim.

Baslıyoruz:

Soru:

900 kilometrelik (İstanbul-Adana arasını normal sartlarda 55 dakikada giden bir uçak hava muhalefeti nedeniyle (stanbul’dan 5 dakika rötarlı kalkmıstır. Uçağın (o sırada güllük gülistanlık olan) Adana’ya planlanan sürede varabilmesi için hızı kaç km/s olmalıdır?

Çözüm:

Rötarı telafi etmek için, her zaman 55 dakikada aldığı mesafeyi, o gün 50 dakikada almak zorundadır.

50 dakikada 900 kilometre gidiyorsa 60 dakikada yani 1 saatte 1080 kilometre gider. O halde uçağın hızı 1080 km/s olmalıdır.

Soru:

Saatteki hızı 60 km. olan bir kamyon A kentinden B kentine dogru harekete basladıktan 1 saat sonra, hızı 75 km/s olan bir otobüs, otobüsten 1 saat sonra da bir otomobil A’dan B’ye dogru harekete baslıyorlar.

Üçü aynı anda B’ye vardığına göre AB yolu kaç km.dir? Ayrıca otomobilin hızı kaç km/s’tir?

Çözüm:

Kamyon, otobüse göre 1 saat, otomobile göre 2 saat fazla seyahat etmistir. Yani, otomobil t saatte B’ye vardıysa, otobüs (t + 1), kamyon ise (t + 2) saatte varmıstır. Hepsinin aldığı yolun aynı olduğunu yine unutmuyoruz.

Otomobilin hızına V km/s diyelim.

x = 60(t + 2) = 75(t + 1) = V.t

denklemlerini çözersek t = 3 saat buluruz.

Bu yüzden x = 300 km. çıkar. Yine bu yüzden de

V = 100 km/s çıkar.

Soru:

A kentinden B kentine dogru saatte 40 km.lik hız yapan bir araç harekete baslıyor.

Bu araçtan 1 saat sonra aynı yerden aynı yönde dogru bir baska araç daha hareket ediyor. (kinci araç 1 saat geç çıkmasına ragmen B’ye ilk araçtan 1 saat erken varıyor.

AB yolu 480 km. ise ikinci aracın saatteki hızı kaç km/s’tir?

Çözüm:

Demek ki ikinci araç bu yolu birinci araçtan 2 saat daha az zamanda alabiliyor.

480 km.lik yolu ilk araç hızı 40 km/s olduğundan 1 saatte alır, o halde ikinci aracın bu yolu bitirmesi için gereken süre 10 saattir.

Sonuç olarak, ikinci aracın hızı 480/10 = 48 km/s olur.

Soru:

A kentinden B kentine dogru 60 km/s hızla bir araç harekete baslıyor.  Bundan 1 saat sonra hızı 75 km/s olan bir araç hareket ediyor.

İki araç B’ye aynı anda vardığına göre AB yolu kaç km.dir?

Yanıt: 300

Soru:

Saatteki hızı V km. olan bir araç belli bir yolu hep 10 saatte alıyor. Eğer yolun 1/3’ünü 2V hızla giderse, gelenek bozulmasın diye yolun kalanını hangi hızla gitmelidir?

Çözüm:

Yola, üçe kolay bölünsün diye 3x diyelim.

3x = V.10 olduğunu unutmayın. 3x’in x’ini 2V

hızla t saatte almıssa x = 2V.t olur.

O halde 3x = 6Vt, diğer yandan 3x = V.10 idi.

Buradan t = 5/3 bulunur.

Gelenek bozulmasın (bilgi yelpazesi.net) diye kalan 2x’lik yolu 10 – 5/3 = 25/3 saatte almalıdır.

Buradaki hızına da V₂ diyelim.

2x = V₂.25/3 olur. x yerine 10V/3 yazılırsa

V₂ = 4V/5 olarak bulunur.

Soru:

300 kilometrelik bir yolu, arabasıyla 6 saatte almayı planlayan bir adam, seyahate herhangi bir sebeple 1 saat geç baslamıstır.

Planlanan sürede gitmek istediği yere varabilmesi için hızını yüzde kaç arttırmalıdır?

Yanıt: 20

Soru:

Hızları saatte V₁, V₁ + V₂ ve V₁ – V₂ olan üç hareketliden birincinin 4t saatte aldığı yol A, ikincinin 3t saatte aldığı yol B ise üçüncünün t saatte aldığı yol A ve B cinsinden nedir?

Çözüm:

Üç hareketlinin de hızları da, bitirme süreleri de, yolları da farklı.

O zaman her biri için ayrı ayrı denklem yazalım.

Sorulana X diyelim.

A = V₁4t = 4V₁t

B = (V₁ + V₂)3t = 3V₁t +3V₂t

X = (V₁ – V₂)t = V₁t – V₂t

olduğundan ilk denklemden V₁t’yi A cinsinden çeker, onu ikinci denklemde yerine yazarak V₂t’yi de B cinsinden buluruz, böylelikle soru çözülmüş olur.

Soru:

Eskenar olan ABC üçgeni seklindeki bir pistin A kösesinden V₁ hızlı ve V₂ hızlı iki hareketli aynı anda harekete baslıyor.

V₂ hızlı olan AH yüksekliğinden gidip A’ya dönene kadar V₁ hızlı hareketli çevreyi dolasıp A’ya dönüyor.

Buna göre V₁/V₂ oranı kaçtır?

Çözüm:

Eskenar üçgenin bir kenarı 2 birim olsun.

Çevreyi dolasan V₁ hızlı hareketli 6 birim giderken, yükseklikten gidip gelen V₂ hızlı hareketli

 birim yol alır.

Bu yolları alırken geçirdikleri süre aynı olduğundan hızları oranı aldıkları yollar oranıdır.

O halde ’tür.

Karşılaşma Problemleri:

İki hareketli aynı yolda birbirlerine dogru hareket ederlerse elbet bir zaman sonra karsılasacaklardır. Genel olarak 4 veri böyle sorulara yeter.

Bunlar: Birinci hareketlinin hızı, ikinci hareketlinin hızı, baslangıçta aralarındaki uzaklık ve karsılasmaları için geçmesi gereken süre.

Bu 4 veriden 3’ünü vererek dördüncü veriyi sorarlar.

Konunun ilk bölümündeki x = Vt

esitliğini iyi anlamıs biri için bu tarz sorular da bir oyuncak olacaktır.

Önce bir karsılasma sorusu çözelim, ardından çözümü genelleyebilirsek genelleyeceğiz.

Soru:

A ile B kentleri arası 400 km. olup A’dan saatteki hızı 20 km, B’den saatteki hızı 30 km. olan bir araç aynı anda birbirlerine dogru harekete baslıyorlar.

Kaç saat sonra karsılaşırlar?

Çözüm:

Tüm problem soruları gibi hemen sorulana adlandıralım. t saat sonra karsılassınlar.

t saatte yavas olan 20t, hızlı olan 30t km yol alır.

Karsılastıklarına göre aldıkları yolların toplamı tam

400 km olmalı.

50t = 400 olduğundan t = 8 çıkar.

Simdi aynı mantıkla karsılasma problemlerinin formülünü çıkartalım:

Yine karsılasmaları için geçmesi gereken süreye t saat diyelim.

A’dan kalkan t saatte V₁t, B’den kalkan t saatte V₂t km. yol alır.

Karsılasmaları için katettikleri toplam yol x km. olmalıdır.

x = V₁t + V₂t = (V₁ + V₂)t

Demek ki karsılasma problemlerini hızlı çözebilmek için; iki aracın toplamına denk sadece tek bir araç varmıs gibi düsüneceğiz.

Yol ve süre değismez ama yeni aracımızın hızı V₁ + V₂ olacak.

Soru:

Toprakta 20 km/s, asfaltta 40 km/s hızla gitmeye ayarlanmıs iki farklı araç aralarındaki uzaklığın 800 km. olduğu A ve B kentlerinden birbirlerine dogru harekete baslıyorlar.

Yolun yarısı asfalt yarısı toprak ise bu iki araç kaç saat sonra karsılasırlar?

Çözüm:

Bu soruyu normal karsılasma problemi gibi düsünemeyiz. Çünkü asfaltta hareket eden daha hızlı olduğundan yolun ortasına daha önce gelir ve burada hızı değismek zorundadır. Dolayısıyla hızı değisene kadar ne kadar süre geçtiğini önce bir bulalım bakalım.

Üst sekildeki gibi, yolun ortası C, AC yolu toprak, CB yolu da asfalt olsun.

Asfaltta hareket edenin hızı 40 km/s ve asfalt 400 km. olduğundan 10 saatte hızlı olan yolun ortasına varır. Bu 10 saatlik sürede de A’dan kalkan 200 km. ilerlemis ve AC’nin ortasına gelmistir. Karsılasmaları için toplam 200 km. gitmeleri lazım yani. Artık B’den kalkanın da hızının 20 km/s olduğunu unutmayın.

x = (V₁ + V₂)t olduğundan 200 = (20 + 20)t olur ki t = 5 bulunur.

Önceden de 10 saat geçmisti, o halde karsılasma ilk ana göre 15 saat sonra olur.

Soru:

Adana-İstanbul arası hala 900 kilometre. Adana’dan hızı 40 km/s olan bir kamyon ile İstanbul’dan hızı 35 km/s olan bir otobüs aynı anda birbirlerine dogru harekete baslıyorlar.

Bunlarla aynı anda da Adana’dan acayip bir sinek saatte 200 km.lik bir hızla (stanbul’a dogru uçmaya baslıyor.

Sinek, otobüsün camına degdiği anda durmadan aynı hızla geri dönüyor, bu sefer kamyon ile karsılasıyor ve onun camına degdiği anda yine aynı hızla durmadan geri dönüyor ve bu böyle devam ediyor.

Kamyon ile otobüs sonunda çarpısıyor ve sineğimiz vefat ediyor. Allah rahmet etsin ama sinek ölmeden önce kaç km. yol katetmistir?

Çözüm:

Hiç gülme, süper bir karsılaşma sorusudur!

Sineğin hızı belli değil mi? Belli. O halde kaç saat uçtuğunu bulursak, soruyu çözmüs olacağız. Kaç saat uçtu? Bu iki aracın harekete baslamalarından çarpısana kadar geçen süre kadar.

E, 900 km.lik  bir mesafede hızları 40 ve 35 km/s olan iki araç 900/(40 + 35) = 12 saat sonra karsılasırlar...

Demek ki rahmetlik 12 saat uçtu.

Bundan dolayı 200.12 = 2400 km. yol katetmistir.

Peki, aynı anda aynı yerden aynı yöne dogru harekete baslayan iki araç karsılaşabilir mi? Karsılaşamaz değil mi? Siz öyle zannedin!

Soru:

A ve B kentleri arası 200 km. olup, A’dan aynı anda iki araç aynı yöne dogru birlikte harekete baslıyorlar. Birinin hızı 20 km/s, diğerinin ise 30 km/s olsun. Hızlı olan B’ye vardığında durmadan geri dönüyorsa, bu iki araç ilk hareketten kaç saat sonra karsılasırlar?

Ayrıca karsılasma yerinin A’ya olan uzaklığı kaç km.dir?

Çözüm:

Gördünüz değil mi, karsılasabilirlermis!

Simdi bu soruya iki farklı çözüm sunacağız.

Birinci yol.

Hızlı olan B’den döndükten sonra AB arasındaki bir C noktasında karsılastıklarını farzedelim.

|BC| = x ise |AC| = 200 – x olur.

Yollar belli, hızlar belli, süreler de aynı, e ne duruyoruz?

200 – x = 20.t

200 + x = 30.t

olduğundan

400 = 50.t olur ki buradan t = 8 çıkar.

O halde A’dan kalkan 8 saatte 20.8 = 160 km. yol almıstır.

İkinci yol.

Karsılastıkları anda ikisinin aldıkları yolun toplamı 400 km. olmaz mı?

E, hızları toplamı da 50 km/s, o zaman dogal olarak t = 8 çıkar.

Yetişme Problemleri:

Tavsan-kaplumbağa hikayesini bilirsiniz.

Tavsan, kaplumbagaya hep ‘’Sen önden basla!’’ der. Niye? Kendi çok hızlı ya, nasıl olsa ona yetisirim diye… Tabi, bu sigara içmeyen bir tavsan! Kazın (bilgi yelpazesi.net) ayağı hep öyle olmasa da genelde dogrudur. Hızlı olan yavastan daha geride yarısa baslasa bile eğer yeterli mesafe ve nefes veya benzin varsa hızlı yavasa yetisir.

Simdi böyle problemlere örnekler vereceğiz. Eğer yine becerebilirsek, yetisme problemlerinin de formülünü çıkartacağız.

Soru:

Hızı 30 km/s olan bir hareketli, hızı 20 km/s olan baska bir hareketliden 50 metre önde harekete baslarsa, arkadaki öndekine kaç saat sonra yetisir?

Ayrıca hazır bunları bulmusken nerede yakalayacağını da bulunuz.

Çözüm:

Yine iki türlü çözüm yapacağız.

Tabii inat eden 10 farklı çözüm de bulabilir.

Birinci yol.

Arkadaki öncekini t saat sonra Y’de yakalıyor olsun.

Aynı üst resimde çizdiğimiz gibi.

BY yoluna y diyelim. Yavas hareketli y km, hızlı ise

50 + y km. yol almıstır.

Her biri için denklemlerimizi kuralım:

y = 20.t

50 + y = 30.t

esitliklerinden ilkini ikincisinde yerine yazarsak t = 5 çıkar, ayrıca y = 100 çıktığında hızlı araç, yavası

B’den 100 km. ilerde yakalarmıs.

İkinci yol.

Yavas saatte 20 km, hızlı ise 30 km. yol alıyor.

Demek ki hızlı olan her 1 saatte 10 km. yavasa yaklasıyor.

Yetismesi için 50 km. yaklasmalı.

1 saatte 10 km. gidiyorsa

? saatte 50 km. gider?

dogru orantısını kurarsak, t = 5 bulunur.

Gerisi aynı ilk yolu çözdügümüz gibi.

Simdi bu yaptıklarımızı genellemeye çalısalım.

Bakalım ne çıkacak?

Geriden baslayanın hızı V₁ km/s, önde baslayanın hızı V₂ km/s, aradaki fark da x km. olsun.

Hem kaç t saat sonra yetiseceğini, hem de B’den kaç km. ilerde yakalayacağını yani y’yi bulalım.

Nasıl mı bulalım?

İkinci yol daha güzel ama biz, eski tas  eski tarak, ilk yoldan gidelim.

Gidelim ki, ‘’Hala ben x = V.t denklemini kuramıyorum!’’ diyen kalmasın…

Arkadan kovalayan için: x + y = V₁.t

Önde kaçan için:

y = V₂.t

Bu iki denklemden (çıkarma yapılırsa);

bulunur ki, bunlar da yetisme problemlerinin formülüdür.

Biraz da gidilen yolun dairesel olduğu durumlara bakalım.

Genel itibariyle ögrenciler, dairesel pist kelimesini veya seklini gördüler mi, soruyu yapamıyorlar.

Ben de bunu bir türlü anlayamıyorum.

Sanki hayatta her gün yürüdükleri yollar  cetvelle çizilmis!

Dairesel pist sorularında çember bilgisi gerektiğini zannediyorlar herhalde. Öyle olsa gerek.

Evet, bazen gerekir ama ilkokul 4 veya 5’te ögretilen ‘’Yarıçapı r olan bir çemberin çevresi ’dir’’ bilgisi yeter.

Bir de ‘’Bir daire diliminin merkez veya yay açısının ölçüsü 360’ın kaçta kaçıysa daire dilimi veya yay uzunluğu da dairenin o kadarda o kadarıdır.’’ bilgisi kullanılır. Buna ragmen ‘’Ben gördüm hocam, baska bilgi-lerin de bilinmesi gereken dairesel pist soruları var!’’ diyorsan hala, ne diyeyim, git ‘’çember ve daire’’ konusunu çalıs o zaman! Hem hangi matematik konusunda bir baska konuya ait bilgiler kullanılmıyor ki?

Soru:

O merkezli dairesel bir pistin A ve B noktalarından sekilde görüldügü üzere iki hareketli aynı anda aynı yöne dogru harekete baslıyorlar.

Yavasın hızı 12 m/dk hızlının hızı 16 m/dk olduğuna göre, hızlı yavasa ilk kez nerde yetisir?

Ayrıca (bulunabilirse eğer) AB yolunun boyunu bulunuz.

Çözüm:

Yine iki yoldan çözelim.

Birinci yol.

AB uzunluğuna x diyelim. Formülümüz gereği x = (16 – 12).t = 4t olur. Bu da x’i bulmak için t’nin bilinmesi gerektiğini anlatır.

Demek ki x bulunamaz. Yani AB yolu bu verilerle bulunamaz.

Nerde yakalar sorusuna cevap arayalım. Yani y’yi bulalım.

Yine formülümüze basvuralım:

olduğundan hızlı yavası B’den 3x metre sonra yani A’da yakalar.

İkinci yol.

Hızların 12 ve 16 m/dk olması bize yavasın her 3 birim yol aldığında, hızlının 4 birim yol alması gerektiğini anlatır.

O halde yavas 3 çeyrek çember yayı giderse, hızlı 4 çeyrek çember yayı gider ki bu da A’da yakalaması demek olur.

O merkezli dairesel pistin çevresi 96 metredir.

AB çapının uç noktalarından sekildeki gibi saatteki hızları 8 ve 12 m/d olan iki bisikletli aynı anda birbirlerine dogru harekete baslıyorlar.

İlk kez kaç dakika sonra karsılasırlar?

Yanıt: 1,2

Ortalama Hız:

100 kilometrelik bir yolu bir araçla 2 saatte gittiğinizi düsün. Sizce bu seyahatteki aracın hızı kaç km/s idi? 50 km/s diyorsun değil mi?

Simdi bu 50 sayısı üstüne biraz düsünelim bakalım. Ne demek bu 50?

Birileri bir aracı hep 50 km/s hızla gitmeye ayarlamıs, sen de bu araca, önünden geçerken, kapısını açıp içine atlamıssın, 100 kilometre ilerde de asağı atlamıssın!

Bu mu yani?

Elbet bu değil! Araç bazen durmus, bazen hızlanmıs, bazen yavaslamıs, sonuçta 100 kilometreyi bitirdiğinde tam 2 saatin geçtiğini görmüssün.

Onun için de diyorsun ki elliyle geldik.

Anlayacağınız, bu aracın hangi an, hangi yerde, hangi hızı yaptığını bulmak mümkün olmadığından, ‘’bu aracın hızı 50 km/s’tir’’ dediğimizde kullandığımız hız kelimesi ortalama hız manasındadır.

Değilse de böyle olmalıdır.

Toplam yolu, toplam zamana bölersek bulacağımız sey ortalama hızdır.

Yani, bir (bilgi yelpazesi.net) otobüs Adana’dan

İstanbul’a 10 saatte gitmisse ortalama 90 km/s hızla gitmistir diye düsünmeliyiz.

‘’Adana - 5stanbul arasının kaç kilometre olduğunu vermemissin ki!’’ diyorsan, ben de sana notları neden en basından itibaren okumadığını sorarım.

Ortalama hız, yoldan bağımsızdır.

Yani, buradan İstanbul’a da 20 km/s hızla gidip geriye 30 km/s hızla dönsen, arka mahalleye de 20 km/s hızla gidip, geriye 30 km/s hızla dönsen ortalama hızın aynı ve 24 km/s çıkar. Bunu ilerde ilk örnekte kanıtlayacağız.

Ortalama hızı bulmanın bir baska yolu da, yine kanıtını ilk örneğe bakarak siz yapınız, gidilen ve dönülen hızların harmonik ortalamasını bulmaktır.

Yani, A’dan B’ye V1 km/s hızla gidip, B’ den A’ya V₂ km/s hızla dönen bir aracın bu seyahatteki ortalama hızı,

formülüyle bulunabilir.

Ortalama hız, her zaman en fazla süre ayrılan hıza diğerlerine göre daha yakındır. Eğer bir yerden bir yere iki değisik hızla gidilmis ve her ikisine de esit süre ayrılmıssa, ortalama hız bu iki hızın toplamının yarısı yani aritmetik ortalamasıdır.

Eğer bu iki hızdan birisiyle daha çok seyahat etmissen ortalama hızın kesinlikle bu iki hızın aritmetik ortasından daha çok süre gidilen hıza yakındır.

Örneklerle daha iyi anlayacaksın.

Soru:

A kentinden B kentine 20 km/s hızla gidip, geriye 30 km/s hızla dönen bir aracın bu seyahatteki ortalama hızı kaç km/s’tir?

Çözüm:

Gidiste ve dönüste yol değismediğinden geçen süre hızlarla ters orantılıdır.

Yani gidis dönüs hızlarının oranı 2/3 olduğundan gidis-dönüs sürelerinin oranı 3/2’dir. Bundan dolayı giderken 2t saat süre geçmisse, dönerken 3t saat süre geçer diyebiliriz.

Ortalama hız neye esitti? Toplam yolun, toplam zamana oranına.

Yolumuz 203t veya 30.2t çarpımlarından 60t olur.

Toplam yol o zaman, gidip dönüldügü için 120.t yapar, toplam zaman da 5.t olduğundan

V_ort = 120t/5t = 24 km/s’tir.

Dikkat ettiyseniz yolun uzunluğunu bilmemize ragmen cevap 24 çıktı, bu da ortalama hızın yoldan bağımsız olduğuna kanıttır.

Soruyu bir de harmonik ortalama formülü ile çözelim:

Soru:

Bir araç gideceği yolun 1/3’ünü 20 km/s hızla, kalanını da 50 km/s hızla gitmistir. Bu aracın bu seyahatteki ortalama hızını bulunuz.

Çözüm:

Madem ortalama hız yoldan bağımsız, yani yol kaç birim olursa olsun bir sey değismiyor, en küçük yola hem 20’ye hem de 50’ye bölünebilen bir sayı verelim.

Hızını değistirdiği yer K olsun.

|AK| = 100 km. ve

|KB| = 200 km. olsun.

|AK|’yı o halde 5 saatte,

|KB|’yi 4 saatte alır.

Toplam yolu toplam zamana

Bölelim

V_ort = 300/9 = 100/3 km/s olur.

Soru:

A kentinden B kentine 10 km/s sabit hızla gidip, 15 km/s sabit hızla dönen bir aracın bu seyahatteki ortalama hızı kaç km/s’dir?

Yanıt: 12

Soru:

Yine geriden baslayanın hızı V1 km/s, önde baslayanın hızı V2 km/s, aradaki fark x km. ve bu sartlar altında, arkadaki öndekini B’den y km. ilerde yakalıyor olsun.

Eğer araçlar hızlarını 4 katına çıkarırlarsa, arkadakinin öndekini yakaladığı yer, B’den kaç y ilerde olur?

Çözüm:

İnanmayacaksın ama değismez!.

Değisen sadece yetisme süresi olur.

Önceden t saat sonra yakalıyorsa, simdi hızı 4 katına çıktığından t/4 saat sonra yakalar.

İki aracın arasındaki mesafe değismediği ve hızları aynı oranda arttığı sürece bunu hep yapabiliriz. Siz yine de matematiksel kanıtını yapmaya çalısın.

Dediğime geleceksiniz.

Hız problemleri hakkında artık az çok bilgi edindiniz sayılır.

Birkaç örnek daha çözüp, sizi o çok sevdiğiniz alıstırma soruları ile bas basa bırakacağım, sabırsızlanmayın!

Soru:

A’da ve B’de duran iki araç eğer aynı anda birbirlerine dogru hareket ederlerse, K’da karsılasıyorlar.

Hızlarını değistirmeden aynı anda aynı yöne dogru hareket ederlerse, arkadaki öndekine

Y’de yetisiyor.

|AB| = 3x, |BC| = 2x ve |BY| = x + 10 birim uzunluğunda ise x kaçtır?

Çözüm:

Önce karsılasma durumunu inceleyelim.

Aynı anda kalktılar, aynı anda K’ya vardılar.

Yani K’ya gelis süreleri esit. Peki, biri niye diğerine göre daha çok yol aldı?

Daha hızlı olduğundan. Peki, ne kadar hızlı olduğunu nerden bulacağız?

Gittikleri yol oranından. Demek ki, bu araçların hızları oranı 2/3’müs.

Hızlarını değistirmeden aynı yöne giderlerse, hızlı olan yavasa Y’de yetisiyormus.

Bu ne demek? B’den kalkan yani yavas olan

x + 10 birim yol alana dek, A’dan kalkan yani hızlı olan

6x + 10 yol alıyormus.

Yine süre aynı olduğundan, hızlar oranı gittikleri yolların oranını verir.

O halde;

orantısı çözülürse x = 10/9 olarak bulunur.

Soru:

Bir araç, beli bir yolu V km/s hızla hep t saatte almaktadır. Eğer hızını %50 arttırır, bu yolu da %40 azaltırsak, simdi kaç t saatte alır?

Çözüm:

Bence süredeki değismeyi kolay gözlemlemek için ilk süre 100 saat olacak sekilde bir ayarlama yapalım. Yol 200 km. olsun, hızı da 2 km/s. Hız %50 artarsa 3 km/s, yol %40 azalırsa 120 km. olur.

120 = 3.t_y esitlginden t_y = 40 olur.

O halde, 100 iken 40’a düsen, t iken (2/5)_t’ye düser.

Siz baska sayılarla yapsaydınız da aynı çıkardı.

Hatta hiç böyle sayı vererek değil de x = V.t üzerinde oynamalar yapsaydınız da!.

Lütfen bir de öyle çözünüz.

Soru:

Bir adamın nefesi, durmadan yüzmeye en çok 15 dakika yetmektedir.

Kıyıdan denize dogru açılmak isteyen adam kıyıya vuran dalgalara karsı dakikada 8 metre, dalgalarla birlikte dakikada 12 metre hızla yüzüyorsa, en çok kaç metre kıyıdan açılabilir?

Çözüm:

Kıyıdan açıldığı mesafe, giderken ve dönerken değismeyeceğinden, gidis ve dönüs sürelerinin oranını, gidis ve dönüs hızlarının (bilgi yelpazesi.net) oranından bulabiliriz.

Hız oranı 8/12 = 2/3 olduğundan geçen süre oranı 3/2 olmalıdır.

Yani, 3t dakika açılmıs, 2t dakikada kıyıya geri dönmüs bu sahsiyet.

Soruda 3t + 2t = 15 dk. verilmis, o halde t = 3 dk, dolayısıyla

x = 8.3t veya x = 12.2t esitliklerinden

adamın en çok

x = 72 metre açılabileceği bulunur.

Soru:

Farklı hızlardaki üç hareketli sabit bir yolda aynı anda harekete baslıyorlar. En hızlı olan yarısı bitirdiğinde birine 80 km. diğerine 100 km. fark atıyor.

Geride kalanlardan öndeki yarısı bitirdiğinde ise en arkadakine 22 km. fark attığını görüyor.

Bu yol kaç km.dir?

Yanıt: 880

Soru:

A kentinden B kentine gitmek için aynı anda hareket eden iki otomobilden biri saatte 60 km diğeri ise 70 km yol (bilgi yelpazesi.net) alıyor.

Bu otomobillerden hızlı olan B kentine 1 saat daha önce vardığına göre Hızlı olan araç A kenti ile B kenti arasını kaç saatte almıştır?

A)5

B)6

C)7

D)8

Çözüm:

|AB|=70.t

|AB|=60.(t+1) 10t=60

70t=60t+60 t=6

Yanıt B şıkkıdır.

Soru:

Ankara’dan aynı anda yola çıkan iki arabanın saatteki ortalama hızları 80 ve 90 km’dir.

Hızı fazla olan araba diğerinden 10 dakika önce gidecekleri yere vardıysa, iki yer arasındaki uzaklık ne kadardır?

A)120

B)160

C)180

D)100

Çözüm:

10 dakika= 1/6 saattir.

Yol: Hız . Zaman

80 Km

90 Km

A B

|AB|=90.t

|AB|=80.(t+1/6)

90t=80.(t+1/6) 90t=80t+80/6 10t=80 t=8/6 olur

|AB|=90.8/6=120

Cevap A şıkkıdır.

Soru:

* A ve B kentleri arası 1200 km'dir. Hızı 80 km/sa olan bir oromobil A'dan, hızı 70 km/sa olan bir otomobil B'den aynı anda karşılıklı yola çıkıyorlar. Karşılaştıkları noktanın A'dan uzaklığı kaç km'dır? (Çözüm: 640)

Çözüm:

Hızlar toplamı 150 olduğu için 1200/150=8 saat sonra karşılaşırlar. 8 saatte A dan gelen araç 8.80=640 km yol alır.

Soru:

* Bir taşıt 50 km/sa hızla gittiği 150 km'lik yolun dönüşünü 75 km/sa hızla almıştır. Buna göre, taşıt gidiş gelişi kaç satte tamamlamıştır? (Çözüm: 5)

Çözüm:

Giderken 150/50=3 saat, dönerken 150/75=2 saat yolculuk yapmıştır.

Toplam 5 saat.

Soru:

* İki otomobilden biri A'dan B'ye 6 saatte diğeri B'den A'ya 4 saatte gidebilmektedir. İkisi aynı anda birbirlerine doğru hareket edecek olursa kaç saat sonra karşılaşırlar? (Çözüm: 2,4)

Çözüm:

A dan B ye gidenin hızı 2V, B den A ya gelenin hızı 3V olsun.

AB arası 12V olur.

Hızlar toplamı 5V olduğundan, 12V/5V=2,4 saat sonra karşılaşırlar.

Soru:

* A kenti ile B kenti arası 540 km'dir. Hızı saatte 90 km olan bir otomobil A kentinden, hızı saatte V km olan bir motosikletli de B kentinden birbirine doğru ayrı anda hareket edip C kentinde karşılaşıyorlar. Otomobil C'den B'ye 2 saatte varıyor. Motosikletli B'den A'ya kaç saatte varır? (Çözüm: 12)

Çözüm:

|BC|=90.2=180 km dir. Otomobil Adan Bye gittiği süre t ise

90.t+180=540 =>t=4 saattir. Demekki bu 4 saatte motor V hızı ile BC arsını almış.

V.4=180 V=45 km/sa

AB arsını bu motor 45.z=540 ise z=12 saatte alır.

Soru:

* Bir nehrin kıyısında A ve B köyleri vardır. Durgun sudaki hızı saatte 40 km olan bir motorla A'dan B'ye 5 saatte gidilip 3 saatte gelindiğine göre, nehrin akıntı hızı saatte kaç km'dir? (Çözüm: 10)

Çözüm:

(40-Vn).5=(40+Vn).3

200-5.Vn=120+3.Vn

80=8.Vn

Vn=10

Soru:

* İki otomobil A ve B noktalarından aynı anda, aynı yöne hareket ediyorlar. A'dan hareket edenin hızı 90 km/saat, diğerininki 70 km/saattir. A'dan hareket eden 6 saat sonra diğerine yetiştiğine göre, A ile B arası kaç km'dir? (Çözüm: 120)

Çözüm:

6=X/90-70 ise X=120

Soru:

* Bir taşıt 600 km'lik yolu 40 km/sa ve 50 km/sa değişen hızlarla 14 saatte kat ediyor. Bu taşıt kaç saat 40 km/sa hızla hareket etmiştir? (Çözüm: 10)

Çözüm:

40x+50(14-x)=600,, 40x +700 -50x = 600 ise 10x=100 ==) x=10 olur

Soru:

* Aynı yönde hareket eden iki bisikletli arasında 36 km'lik yol vardır. Geride hareket edenin saatteki hızı 4 km daha fazla olduğuna göre, kaç saat sonra ileride gidene yetişir? (Çözüm: 9)

Çözüm:

t= 36/x+4-x= 9 olur

Soru:

* Bir taşıt 5 saatte varacağı yere, hızını saatte 10 km artırdığında 1 saat daha varacağını hesaplıyor. Buna göre, bu taşıtın gideceği yol kaç km'dir? (Çözüm: 200)

Çözüm:

5x=4(x+10) ise x=40 40.5=200

Soru:

* Saatteki ortalama hızı 80 km olan bir otobüsle, saatteki ortalama hızı 100 km olan bir otomobil B kentine gitmek üzere A kentinden (bilgi yelpazesi.net) birlikte hareket ediyorlar. Otobüs, B kentine otomobilden 1 saat geç vardığına göre, A ile B kentleri arası kaç km'dir? (Çözüm: 400)

Çözüm:

8(x+1)=100.x , 80x +80 =100x , 20x = 80 x =4 , 100.4=400

Soru:

* Hızları 110 km/saat ve 90 km/saat olan iki otomobil, A ve B kentlerinden aynı anda, birbirlerinden uzaklaşacak şekilde, ters yönde hareket ettiklerinde 3 saat sonra birbirlerinden 850km uzakta oluyorlar. İki otomobil karşılıklı hareket etselerdi kaç saat sonra karşılaşırlardı? (Çözüm: 1,25)

Çözüm:

110.3=330 , 90.3=270 , 330+270=600, 850-600=250=|AB| 250/110+90 =t ,t=5/4 ise t=1,25

Soru:

* Aynı yönde hareket eden iki bisikletli arasında 12 km yol vardır. Arkadan hareket edenin hızı saatte 3 km daha fazla olduğuna göre, kaç saat sonra önde hareket edenin 18 km önüne geçer? (Çözüm: 10)

Çözüm:

4.3=12 aradaki mesafeyi kapatır 6.3=18 önüne geçer toplam 4+6=10 olur

Soru:

* A ve B kentleri arası 380 kmdir. İki hareketli A ve B kentlerinden aynı anda karşılıklı olarak yola çıkarlarsa, 2 saat sonra birbirlerinden 100 km uzakta oluyorlar. Eğer bu iki hareketli aynı anda ters yönde yola çıksaydı 3 saat sonra aralarında kaç km mesafe olurdu? (800)

Çözüm:

(v1+v2).2=380+100

v1+v2=240 olur.

ters yönde 3 saatte; 3.(v1+v2)=3.240=720 km yol alırlar birde aradaki 380 km zaten vardı;

380+720=800 km mesafe oluşur

Soru:

* Saatteki ortalama hızı 60 km olan bir kayık, akıntı hızı saatte 20 km olan nehirde, akıntı yönünde 4 saatte aldığı yolu dönüşte kaç saatte alır? (8)

Çözüm:

Akıntı yönündeki hız: 60+20=80km

akıntıya ters yöndeki hız: 60-20=40km olur.

4.80=40.t

t=8 olur

Soru:

* Aralarında 240 kmlik mesafe bulanan iki taşıt karşılıklı hareket ettiklerinde 3 saat sonra karşılaşıyorlar. Bu taşıtlar aynı yönde hareket ettiklerinde hızlı giden yavaş gidene 12 saat sonra yetiştiğine göre, yavaş gidenin hızı kaç km/sa tir? (30)

Çözüm:

hızlı gidenin hızı v1 yavaşın hızı v2 olsun;

3.(v1+v2)=240

v1+v2=80

12.(v1-v2)=240

v1-v2=20

v1+v2=80 taraf taraf çıkarırsak;

2v2=60

v2=30 olur.

Soru:

* A kentinden B kendinegitmek üzere saatteki ortalama hızı 80 km olan bir aracın hareketinden yarım saat sonra, yine B'ye gitmek üzere saatteki hızı 90 km olan ikinci bir araç hareket ediyor. Her iki araç B kentine aynı anda vardıklarına göre, A ile B arası kaç kmdir? (360)

Çözüm:

1. araç yarım saatte 40 km yol alır.

90-80=10 km olduğundan 2. araç her bir saatte 1. araca 10 km yaklaşacaktır.

aradaki 40km lik mesafeye kapatmak için 4 saat geçmesi gerekir.

90.4=360 yada 40+80.4=360 dan çözüme gidebiliriz.

Soru:

* Aynı yolda karşılıklı olarak hareket eden iki bisiklelinin arasında 60 kmlik mesafe vardır. Bisikletlilerin saatteki hızları 20 km ve 32 km olduğuna göre, 4 saat sonra birbirlerinden kaç km uzaklaşırlar? (148)

Çözüm:

Arada hiç mesafe olmasaydı direk birbirlerinden uzaklaşmaya başlayacaklardı.

4.20=80 ve 4.32=128 ve aradaki mesafe 80+128=208 olacaktı. ama sorumuzda önce aradaki 60 km yi sıfırlayıp sonra uzaklaşma gerçekleşeceğinden;

208-60=148 fark oluşacaktır

Soru:

* Bir bisikletli gideceği yolun 3/7sini 15 km/saat, kalanını 20 km/saat hızlarla giderse, yolun tamamını 4 saatte alıyor. Yolun tamamı kaç km'dir? (Çözüm: 70)

Çözüm:

Yolun tamamına 7x diyelim 3x i 15 4x i 20 km/sa lik hızla gitmiş alınan yoların bir birine oranı hızların oranına eşit oldugu için 3x lik kısım ile 4x lik kısım aynı surede gitmiştir burdan 3x lik ve 4x lik kısımları 2 şer saat te almıştır 2x15+2x20 =30+40 =70 km olur

Soru:

* A kentinden saat 80 km, B kentinden de saatte 100 km hızlarla iki otomobil karşılıklı olarak aynı anda hareket ediyorlar. Bu taşıtlar birbirleri ile karşılaştıktan 1 saat sonra aralarındaki uzaklık kaç km'dir? (Çözüm: 180)

Çözüm:

Karşılaştık tan sonra zıt yönde hareket ederler zıt yönde 1 saat hareket ettikleri için aralarında oluşacak uzaklık saateki hızları toplamına eşit olur =180

Soru:

* Bir otomobil A kentinden B kentine saatte V km hızla 8 saatte gitmiştir. Otomobil hızını saatte 10 km artırırsa, aynı yolu 6 saatte alabilecektir. Buna göre V kaçtır? (Çözüm: 30)

Çözüm:

A kenti ile b kenti arasındaki uzaklık 8v olur hızını 10 km artrırsa 6x(v+10)=8v burdan v=30 olur

Soru:

* Hızları V1 ve V2 olan iki otomobil A ve B kentlerinden aynı anda, karşılıklı olarak hareket ettiklerinde 6 saat sonra (bilgi yelpazesi.net) karşılaşıyorlar. Bu otomobiller, %50 oranında artırılmış hızlarla hareket ettiklerinde kaç saat sonra karşılaşırlar? (Çözüm: 4)

Çözüm:

Aradaki mesafeye x diyelim (V1+V2)x6 =x olur

Hızları %50 artasa a saat sonra karşılacak diyelim

3/2 x(V1+V2)xa=x olur eşitliklerin ikiside x e eşit oldugu için bir birine eşitleye biliriz (V1+V2)x6 = 3/2(V1+V2)xa (V1+V2 )ler sadeleşir 3/2 xa =6 dan a =4 olur

Soru:

* Bir taşıt A kentinden 60 km/sa hızla B kentine hareket ediyor. Eğer 50 km/sa hızla hareket etseydi 2 saat daha geç ulaşacaktı. Buna göre, A ile B kentleri arası kaç km'dir? (Çözüm: 600)

Çözüm:

Araç a kentinden b kentine a saate ulaşırsa a ile b kenti arasında 60a km lik mesafe olur 50 km ile gidince iki saat geç gittigine göre (a+2) saatte gider burdan 50(a+2)=60a olur a =10 olur aradaki mesafe 60 a dan 600km olur