|
Eğitim Öğretim İle İlgili Belgeler > Konu Anlatımlı Dersler > Matematik Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar
OLASILIK, OLASILIK ÇEŞİTLERİ, HESAPLAMALARI, ÖZELLİKLERİ (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)
Olasılık, rastlantı yada kesin olmayan olaylarla uğraşır.
Rastlantı; sonucu önceden bilinmeyen, gerçekleşmesi şansa bağlı olaylardır.
Örneğin; bir parayı havaya attığımızda, yazı mı yoksa tura mı geleceğini deney yapmadan bilemeyiz.
- Bir deneyde çıkan sonuçların her birine “ olay “denir. Yapılan bir deneyde, elde edilebilecek tüm çıkanların kümesine “örnek uzay” veya “ evrensel küme “ adı verilir. Büyük “E”harfi ile gösterilir.
- Bir olay her zaman olabiliyorsa buna “kesin olay”; hiç gerçekleşmiyorsa buna da “imkansız olay” denir.
- Bir E örnek uzayının her elemanının elde edilme olasılığı eşit ise bu E örnek uzayına “eş olumlu örnek uzay “ denir.
Eş olumlu örnek uzayına ait bir A olayının olasılığı P( A ) biçimde gösterilir.
A C E olayı için,
ÖR:
Bir zar atıldığında,üste gelen yüzünün asal sayı olma olasılığı nedir?
ÇÖZÜM:
Evrensel küme E = ( 1,2,3,4,5,6 }
Olay A = ( 2,3,5 } dir.
ÖZELLİKLER
1) Bir olayın olasılığı, sıfır ile bir arasında bir sayıdır.
0 < P( A ) < 1
2) P( A ) = 0 => böyle bir olaydan söz edilemez.(İmkansız olay )
3) P( A ) = 1 => olasılık tamdır.( Kesin olay )
4) Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı 1’e eşittir.
P( A ) + P( A‘) = 1 dir.
ÖR:
Bir torbada,aynı büyüklükte 3 kırmızı, 4 beyaz, 5 mavi bilye vardır. Torbadan rasgele bir bilye çekiliyor. Çekilen bilyenin beyaz olma olasılığı nedir?
ÇÖZÜM:
Örnek uzayın eleman sayısı,
s( E ) = 3+4+5 = 12 dir.
Beyaz bilye çekme olayı B olsun . Torbada 4 tane beyaz bilye olduğundan, s( B ) = 4 tür.
Buna göre;
ÖR:
Bir çift zar, aynı anda masanın üzerine atılıyor. Üste gelen sayıların toplamının asal sayı olma olasılığı nedir?
ÇÖZÜM:
Evrensel kümenin eleman sayısı,
s( E ) = 6 x 6 = 36 dır.
Üste gelen sayıların toplamının asal sayı olma durumları;
A = ( (1,1),( 1,2 ),( 2,1 ),( 1,4 ),( 4,1 ),( 1,6 ),( 6,1 ),( 2,3 ),( 3,2 ),( 2,5 ),( 5,2 ),( 3,4 ),( 4,3 ), ( 5,6 ),( 6,5 )}
|
Ayrık İki Olayın Birleşmelerinin ( A Veya B Olayının ) Olasılığı
Ayrık olayların birleşimlerinin olasılığı, bu olayların olasılıkları toplamına eşittir.
A n B = O =>
P ( A U B ) = P ( A ) + P( B ) dir.
ÖR:
Bir torbaya aynı büyüklükte 2 kırmızı, 3 sarı,4 mavi bilye konuluyor. Torbadan rasgele bir bilye çekilirse,çıkan bilyenin (bilgi yelpazesi.net) kırmızı veya mavi olma olasılığı nedir?
ÇÖZÜM: Evrensel küme,
E = ( k1,k2,s1,s2,s3,m1,m2,m3,m4 }ve s( E ) = 9 dur.
Kırmızı bilyeler = A = ( k1,k2 }
Mavi bilyeler = B = ( m1,m2,m3,m4 }
A n B = O dir. Buna göre,
P ( A U B ) = P( A ) + P( B ) yazılır.
Ayrık Olmayan İki Olayın Birleşimlerinin (A Veya B Olayının ) Olasılığı
Ayrık olmayan iki olayın birleşimlerinin olasılığı, bu olayların ayrı ayrı olasılıkları toplamından kesişimlerinin olasılığının farkına eşittir.
A n B = O => ,
P ( A U B ) = P( A ) + P( B ) - P( A n B ) dir.
ÖR:
Bir torbaya 1’den 9’a kadar numaralanmış aynı büyüklük ve özellikte 9 top konuyor. Torbadan rasgele bir top çekiliyor. 4’ten büyük veya tek numaralı bir topun çıkma olasılığı nedir?
ÇÖZÜM:
Evrensel küme
E = ( 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }
s( E ) = 9 dur.
Tek numaralı bilyenin çıkması olayı;
A = ( 1,3,5,7,9 }, s( A ) = 5 ’tir.
4 ten büyük numaralı bilyenin çıkması olayı;
B = ( 5,6,7,8,9 }, s ( B ) = 5’tir.
A n B = (5,7,9 }, s ( A n B ) = 3’tür.
Buna göre,
Bağımsız Olayların Birlikte Olma ( A Ve B Olayının ) Olasılığı
İki veya daha çok olayın gerçekleşmeleri birbirine bağlı değilse böyle olaylara “ bağımsız olaylar” denir.
Bağımsız olayların birlikte olma olasılığı bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir.
P( A ve B ) = P( A n B ) = P( A ) . P( B ) dir.
ÖR:
Bir okulun birinci sınıfında 12 erkek ve 8 kız, ikinci sınıfında 6 erkek ve 12 kız öğrenci vardır. Her iki sınıftan da rasgele seçilen birer öğrencinin ikisinin de kız öğrenci olma olasılığı nedir?
I. sınıftan seçilen öğrencinin kız öğrenci olması olayı
A =>
II. sınıftan seçilen öğrencinin kız öğrenci olması olayı
|
|