Eğitim Öğretim İle İlgili Belgeler > Konu Anlatımlı Dersler > Matematik Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar

TAM SAYILAR, ÇEŞİTLERİ, ÖZELLİKLERİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIM (2) (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER, SORULAR)

 

TAMSAYILAR

 

Z = { ….., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ……} kümesinin her bir elemanına tamsayı denir.

 

Burada,

 

Z+ = {1, 2, 3,......} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir.

 

Z = {......, − 3, − 2, −1,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

 

Sıfır tamsayısı, pozitif veya negatif değildir. Yani işaretsizdir.

O halde, Z = Z− {0} Z+ ifadesi yazılabilir. 

ÖRNEK:

x ve y birer negatif tamsayıdır.

x = 12 . y

olduğuna göre, x en çok kaçtır?

A) -30

B) -24

C) -16

D) -15

E) -12

 

ÇÖZÜM:

x ve y birer negatif tamsayı olduğuna göre, x = 12.y eşitliğinde, x in en büyük değerini alması, y’nin en büyük değerini almasına bağlıdır.

En büyük negatif tamsayı -1 olduğundan y = -1 alınırsa

x = 12.(-1) = -12 olur.

Doğru Seçenek: E

 

ÖRNEK:

4 − 3:[( − 2)2 − (−1)3 : 2 − 3]

işleminin sonucu kaçtır?

A) -1

B) -2

C) 0

D) 1

E) 2

 

ÇÖZÜM:

İşlem önceliği gereği, ilk önce parantez içleri, varsa üslü işlemler, çarpma-bölme ve daha sonra toplama-çıkarma işlemleri yapılır.

Doğru Seçenek: E

 

ÖRNEK:

a, b, c birer tamsayı olmak üzere,

a . b= 36

b . c= 18

olduğuna göre, a + b + c toplamının en küçük değeri kaçtır?

A) 55

B) -15

C) -21

D) -55

E) -60

 

ÇÖZÜM:

İki negatif tamsayının çarpımı pozitiftir. Bunun için a, b, c için uygun olan en küçük negatif tamsayılar seçilirse a + b + c toplamı en küçük değerini alır.

Buna göre, a + b + c toplamının en küçük değeri -55 olur.

Doğru Seçenek: D

 

ÖRNEK:

x, a, b ve c pozitif tamsayılardır.

olduğuna göre, a .b .c çarpımı en az kaçtır?

A) 1

B) 5

C) 6

D) 10

E) 19

 

ÇÖZÜM:

olduğuna göre, x in tamsayı olması için b.c çarpımı 5 in katı ve a sayısı da 5 i bölen bir sayı olmalıdır.

a.b.c çarpımının en küçük değerini alması için b.c=5 ve a=1 alınmalıdır.

Buna göre, a.b.c çarpımı en az 5.1 = 5 olur.

Doğru Seçenek: B

 

ÖRNEK:

a ve b pozitif tamsayılardır.

a .b = 2 .a + 12

olduğuna göre, b nin en küçük değeri için a kaçtır?

A) 12

B) 7

C) 4

D) 3

E) 0

 

ÇÖZÜM:

a .b = 2 .a +12 ise

olur.

Buna göre, b nin tamsayı olması için a nın 12 yi bölen bir pozitif tamsayı olması gerekir. b nin en küçük değerini alması (bilgi yelpazesi.net) için a en büyük değerini almalıdır.

a = 12 alınırsa b en küçük olur.

Doğru Seçenek: A

 

ÖRNEK:

x, a, b ve c birer tamsayıdır.

ifadesinde a ve b 2 katına, c ise

katına çıkarılırsa sonuç aşağıdakilerden hangisi olur?

A) 10x

B) 9x

C) 8x

D) 4x

E) x

 

ÇÖZÜM:

Doğru Seçenek: C

 

 

TAMSAYI ÇEŞİTLERİ, TÜRLERİ

 

ÇİFT SAYI – TEK SAYI

 

n bir tamsayı olmak üzere, 2n genel ifadesiyle belirtilen tamsayılara çift sayı, 2n – 1 genel ifadesiyle belirtilen tamsayılara tek sayı denir.

 

Diğer bir ifadeyle; 2 ile bölündüğünde kalanı 0 olan tamsayılara çift sayı, 2 ile bölündüğünde kalanı 1 olan tamsayılara tek sayı denir.

 

Çift Sayılar kümesi,

Ç = {……, -4, -2, 0, 2, 4, ……}

 

Tek Sayılar kümesi,

T = {……, -5, -3, -1, 1, 3, 5, ……} şeklinde gösterilir.

 

 

 

ÖRNEK:

a, b ve c pozitif tamsayılardır.

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) a çift sayıdır.

B) b çift sayıdır.

C) c çift sayıdır.

D) a ve b çift sayıdır.

E) a veya b çift sayıdır.

 

ÇÖZÜM:

olur.

Buna göre, c tek de olsa çift te olsa 6.c çarpımı çift olur. Bu nedenle a.b + 2 de çift sayıdır.

Bir çift sayının bir çift sayıyla toplamı çift olduğuna göre, a.b çarpımı da çifttir.

a. b çarpımı çift ise a ile b nin en az biri çift olmalıdır.

Doğru Seçenek: E

 

ÖRNEK:

x tek sayı olduğuna göre,

I. x3 − x II. 2x +1 III. x(x +1)

ifadelerinden hangisi ya da hangileri çift sayıdır?

A) Yalnız I

B) I ve II

C) II ve III

D) I ve III

E) Yalnız III

 

ÇÖZÜM:

x = 1 alınırsa,

I. x3 − x = 13 −1= 0 çift sayı

II. 2x + 1= 2 .1+ 1= 3 tek sayı

III. x(x +1) = 1. (1+1) = 2 çift sayı olur.

Doğru Seçenek: D

 

ÖRNEK:

x, y, z doğal sayılar ve

x + 3 . y = 2. z + 6

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman çift sayıdır?

A) x.y

B) y.z

C) x + y

D) x + z

E) y + z

 

ÇÖZÜM:

x, y, z doğal sayılar olmak üzere, x + 3 . y = 2. z + 6 eşitliğinde 2z çift ve dolayısıyla 2z + 6 çift sayıdır.

x + 3 . y = 2. z + 6 eşitliğinin sağ tarafındaki ifade çift sayı olduğuna göre, sol tarafındaki ifade de çift sayı olmalıdır.

3.y nin tek ya da çift oluşu y ye bağlıdır. Yani y tek ise 3.y tek, y çift ise 3.y çift sayıdır.

Buna göre, 3.y ile (bilgi yelpazesi.net) y sayısının çift ya da tek oluşu aynıdır.

O halde x + 3y çift ise x + y de çift sayıdır.

Doğru Seçenek: C

 

 

SONUÇ:

 

Bir sayının pozitif tam kuvvetleri, sayının çift ya da tek oluşunu etkilemez.

 

 

ÖRNEK:

Aşağıdakilerden hangisi bir çift sayıdır?

 

ÇÖZÜM:

Doğru Seçenek: D

 

ÖRNEK:

x ve y pozitif tamsayıdır.

yx + xy

ifadesi tek sayı olduğuna göre,

I. x.y II. 4x + y III. x+ 2y

ifadelerinden hangileri kesinlikle çift sayı belirtir?

A) Yalnız I

B) Yalnız II

C) Yalnız III

D) I ve II

E) II ve III

 

ÇÖZÜM:

yx + xy toplamı tek sayı olduğuna göre, x tek ve y çift veya x çift ve y tek olmalıdır.

Yani x veya y den bir tanesi kesinlikle çift sayı olmalıdır.

Buna göre,

I. x.y çift olmalıdır.

II. 4x + y tek veya çift olabilir.

III. x+ 2y tek veya çift olabilir.

Doğru Seçenek: A

 

ÖRNEK:

x ve y tek sayılar ve z çift sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?

 

ÇÖZÜM:

Daima çift sayı olması gereken seçenek sorulduğu için çift seçenekleri çift sayı belirtmeyen örnekler elde ederek eleyebiliriz.

Doğru Seçenek: E

 

 

ARDIŞIK SAYILAR

 

Belirli bir kurala göre art arda gelen sayı dizilerine ardışık sayılar denir.

 

n bir tamsayı olmak üzere,

 

Ardışık tamsayılar: …1, 2, 3, 4, …n, n + 1, n + 2, ……

 

Ardışık çift sayılar: …0, 2, 4, 6, …2n, 2n + 2, 2n + 4, …

 

Ardışık tek sayılar: …1, 3, 5, 7, …2n – 1, 2n + 1, 2n + 3, …

 

şeklinde gösterilebilir.

 

 

SONUÇ:

 

=> Ardışık tamsayılar 1 er 1 er artar ve azalır.

 

=> Ardışık çift ve ardışık tek tamsayılar 2 şer 2 şer artar ve azalır.

 

 

ÖRNEK:

a, b, c ardışık doğal sayılardır.

a < b < c

olduğuna göre, 4a + 3b – 7c ifadesinin değeri kaçtır?

A) -15

B) -11

C) -7

D) 3

E) 11

 

ÇÖZÜM:

a = n olsun.

Bu durumda b = n + 1 ve c = n + 2 olur.

Doğru Seçenek: B

 

 

Ardışık Sayıların Sonlu Toplamları

 

n terim sayısı olsun.

 

 

ÖRNEK:

1+ 2 + 3 + 4 + ...... + 50 toplamının sonucu kaçtır?

 

ÇÖZÜM:

1+ 2 + 3 + 4 + ...... + 50 toplamında n = 50 dir.

O halde,

bulunur.

 

ÖRNEK:

2 + 4 + 6 + ...... + 60 toplamının sonucu kaçtır?

 

ÇÖZÜM:

2 + 4 + 6 + ...... + 60 toplamında 2n = 60 ve n = 30 dur.

Buna göre, toplam 2 + 4 + 6 + ...... + 60 = 30 .31= 930 elde edilir.

 

ÖRNEK:

1+ 3 + 5 + ...... + 41 toplamının sonucu kaçtır?

 

ÇÖZÜM:

1+ 3 + 5 + ...... + 41 toplamında 2n-1 = 41 ve n = 21 dir.

Buna göre, toplam 1+ 3 + 5 + ...... + 41= 212 = 441 elde edilir.

 

 

Ardışık Sayı Dizilerinde Terim Sayısı

Ardışık sayı dizilerinde terim sayısını bulmak için ilk terim, son terim ve artış miktarı kullanılır.

 

 

 

NOT:

 

Sonlu ardışık sayıların toplamını bulmak için aşağıdaki yöntem kullanılır.

 

r ilk terim, n son terim ve x artış miktarı olsun.

 

 

toplamını bulmak için terim sayısı ile ardışık sayı dizisinin ortasındaki terim çarpılır.

 

 

 

ÖRNEK:

5 + 8 +11+ ...... + 77 toplamı kaçtır?

 

ÇÖZÜM:

Verilen ardışık sayı dizisinde ilk terim 5, son terim 77 ve artış miktarı 3 tür.

 

ÖRNEK:

Ardışık 5 tamsayının toplamı 95 olduğuna göre, bu sayıların en büyüğü ile en küçüğünün toplamı kaçtır?

 

ÇÖZÜM:

I. YOL:

Ardışık 5 tamsayının en küçüğüne n diyelim.

Ardışık sayılar 1 er 1 er arttığına göre, sayılar

O halde en küçük sayı n = 17 ve en büyük sayı n + 4 = 21 olur.

Bu sayıların toplamı da 38 dir.

 

II. YOL:

Verilen 5 sayının toplamı 95 ise 95 terim sayısına yani 5 e bölünürse ortadaki terim elde edilir.

Buna göre, ortadaki yani 3. sayı,

elde edilir.

Dolayısıyla en küçük sayı 19 – 2 = 17 ve en büyük sayı 19 + 2 =21 bulunur.

Bu sayıların (bilgi yelpazesi.net) toplamı da 38 dir.

 

ÖRNEK:

Ardışık 11 çift sayının toplamı 1188 olduğuna göre, ortadaki sayı kaçtır?

 

ÇÖZÜM:

1188 sayısı, 11 e bölünürse ortadaki sayı bulunur.

Buna göre, ortadaki sayı

bulunur.

 

ÖRNEK:

a, b, c ardışık tamsayılar ve a<b<c olmak üzere,

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) b

B) 2a

C) b+2

D) 2b

E) a+2

 

ÇÖZÜM:

Doğru Seçenek: D

 

ÖRNEK:

n bir doğal sayı olmak üzere, 1 den n ye kadar olan doğal sayıların toplamı x ve 12 den n ye kadar olan doğal sayıların toplamı y dir.

x + y = 234 olduğuna göre, x kaçtır?

A) 140

B) 145

C) 150

D) 155

E) 160

 

ÇÖZÜM:

Doğru Seçenek: C

 

ÖRNEK:

n bir tamsayı olmak üzere, 3n – 4 ile n + 6 sayıları ardışık iki çift tamsayı olduğuna göre, n nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?

A) 2

B) 4

C) 8

D) 10

E) 14

 

ÇÖZÜM:

Sayılar ardışık iki çift tamsayı olduğuna göre, farkları 2 olur.

Buna göre, n nin alabileceği değerler toplamı 6 + 4 = 10 olur.

Doğru Seçenek: D

 

 

FAKTÖRİYEL (ÇARPANSAL)

 

1 den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! şeklinde gösterilir.

 

 

 

NOT:

 

0! = 1 ve 1! = 1 değerleri tanım olarak kabul edilir.

 

 

NOT:

eşitlikleri yazılabilir ve işlemler sırasında bu tür ifadeler sıklıkla kullanılır.

 

 

ÖRNEK:

x = 20 .7!

olduğuna göre, 8!+ 9! toplamının x türünden ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 4x

B) 3x

C) 2x

D) x

Doğru Seçenek: A

 

ÖRNEK:

1!+ 2!+ 3!+ 4!+ ....... +100!

toplamından elde edilen sayının birler basamağındaki rakam kaçtır?

A) 1

B) 2

C) 3

D) 5

E) 7

 

ÇÖZÜM:

Bir sayının birler basamağındaki rakam bulunurken, sayının 10 ile bölümünden kalan bulunmalıdır.

Burada 5 ve daha büyük sayıların faktöriyelinin 10 ile tam bölündüğüne dikkat edilmelidir.

Doğru Seçenek: C

 

ÖRNEK:

a ve n pozitif tamsayılardır.

7! = 2n .a

ifadesinde n nin en büyük değeri kaçtır?

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 7

 

ÇÖZÜM:

I. YOL

7! = 2n .a olduğuna göre, 7! içerisindeki 2 sayısının çarpan olarak kaç adet olduğunu bulmamız gerekiyor.

7! = 1. 2.3 . 4 .5 . 6 .7 = 2 .3 . (22) .5 . (2.3) .7 = 24 .32 .5 .7

Buna göre, n sayısının değeri en çok 4 olur.

 

II. YOL

7 sayısı sürekli 2 ye bölünerek elde edilen bölümlerin toplamı, 7! İçerisindeki 2 çarpanlarının sayısını verir.

Buna göre, n sayısının alabileceği en büyük değer 3 + 1 = 4 olur.

Doğru Seçenek: C

 

ÖRNEK:

x ve y pozitif tamsayılar olmak üzere,

30! = 6x . y

olduğuna göre, y nin en küçük değeri için x kaç olur?

A) 10

B) 11

C) 12

D) 14

E) 15

 

ÇÖZÜM:

30! içerisindeki 6 çarpanlarını bulmamız gerekiyor.

6 = 2.3

olduğundan 30! içerisinde kaç tane 3 olduğunu bulmamız gerekiyor.

Çünkü 30! içerisinde 3 çarpanı daha az bulunmaktadır.

Buna göre, y sayısı en küçük değerini aldığında x sayısı en büyük değerini alacağından x in en büyük değeri

10+3+1=14 olur.

Doğru Seçenek: D

 

ÖRNEK:

a, b, c pozitif tamsayılar olmak üzere,

13! = 2a .3b . c

olduğuna göre, a + b toplamının en büyük değeri kaçtır?

A) 8

B) 9

C) 10

D) 13

E) 15

 

ÇÖZÜM:

13! içerisindeki 2 ve 3 çarpanlarının sayısını bulmamız gerekiyor.

Buna göre, a sayısı en çok 6+3+1=10, b sayısı en çok 4+1=5 olur.

Toplamları 15 bulunur.

Doğru Seçenek: E

 

ÖRNEK:

a = 30!, b = 48! + 30!, c = 48! + 49!

olduğuna göre, a, b ve c sayılarının sonundaki sıfır sayıları için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) 8, 11, 11

B) 8, 8, 12

C) 7, 7, 11

D) 7, 8, 12

E) 7, 7, 12

 

ÇÖZÜM:

a ve b sayılarının sonundaki sıfır sayısı, 30! sayısının sonundaki sıfır sayısına eşittir. Çünkü toplama işleminin sonucunun sonundaki sıfır sayısı, sonunda daha az sıfır bulunan sayının sonundaki sıfır sayısına eşittir.

Faktöriyel içeren (bilgi yelpazesi.net) bir sayının sonundaki sıfır sayısını bulmak için sayının içinde kaç tane 10 çarpanı olduğuna bakmak gerekir.

10 = 2.5 olduğundan 30! içerisinde kaç tane 5 çarpanı olduğunu bulmamız yeterlidir.

olduğuna göre, 30! sayısının sonunda 6 + 1 = 7 adet 5 çarpanı vardır.

Dolayısıyla a ve b sayılarının sonunda 7 tane sıfır vardır.

c = 48! + 49! = 48!. (1+ 49) = 48!.50 = 48!. 2. 52 olduğundan c sayısının sonundaki sıfır sayısını bulmak için 48! İçerisindeki 5 çarpanlarının sayısına 2 eklememiz (52 olduğundan) gerekir.

olduğundan c sayısının sonunda 9 + 1 + (2) = 12 tane sıfır vardır.

Doğru Seçenek: E

 

ÖRNEK:

48!−1

sayısının sonunda kaç tane 9 vardır?

A) 10

B) 11

C) 12

D) 14

E) 15

 

ÇÖZÜM:

48!−1 sayısının sonundaki 9 sayısı 48! sayısının sonundaki sıfır sayısına eşittir. Bu nedenle 48! sayısının sonundaki sıfır sayısını bulmamız gerekir.

Buna göre, 48! sayısının sonunda 9 + 1 = 10 tane sıfır vardır.

Doğru Seçenek: A

 

MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR
" SAYFASINA GERİ DÖNMEK İÇİN
>>>TIKLAYIN<<<

KONU ANLATIMLI DERSLER " SAYFASINA GERİ DÖNMEK İÇİN
>>>TIKLAYIN<<<

MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ TEST SORULARI SORU BANKASI "
SAYFASINA GEÇMEK İSTERSENİZ
>>>TIKLAYIN<<<

MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ YAZILI SORULARI "
SAYFASINA GEÇMEK İSTERSENİZ
>>>TIKLAYIN<<<

"
EĞİTİM ÖĞRETİM İLE İLGİLİ BELGELER
” SAYFASINI GÖRMEK İSTERSENİZ
>>>TIKLAYIN<<<

Yorumlar

....

9. **Yorum**
->Yorumu: şahane bir site burayı sevdimm 
->Yazan: Buse. Er 

8. **Yorum**
->Yorumu: SIZIN SAYENIZDE YÜKSEK BIR NOT ALDIM SIZE TESSEKÜR EDIYORUM...
->Yazan: sıla

7. **Yorum**
->Yorumu: valla bu site çok süper .Bu siteyi kuran herkimse Allah razi olsun tüm ödevlerimi bu siteden yapiyorum.saolun mugladan sevgiler...:).
->Yazan: kara48500..

6. **Yorum**
->Yorumu: çok güzel bir site. kurucularına çok teşekkür ederim başarılarınızın devamını dilerim.
->Yazan: Tuncay.

5. **Yorum**
->Yorumu: ilk defa böyle bi site buldum gerçekten çok beğendim yapanların eline sağlık. 
->Yazan: efe .

4. **Yorum**
->Yorumu: ya valla çok güzel bisi yapmışınız. Çok yararlı şeyler bunlar çok sagolun 
->Yazan: rabia..

3. **Yorum**
->Yorumu: Çok ii bilgiler var teşekkür ederim. Çok süper... Ya bu siteyi kurandan Allah razı olsun ..... süperrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr. Çok iyiydi. isime yaradı. Her kimse bu sayfayı kurduğu için teşekkür ederim 
->Yazan: pınar..

2. **Yorum**
->Yorumu: çok güzel site canım ben hep her konuda bu siteyi kullanıyorum özellikle kullanıcı olmak zorunlu değil ve indirmek gerekmiyor
->Yazan: ESRA..

1. **Yorum**
->Yorumu: Burada muhteşem bilgiler var hepsi birbirinden güzel size de tavsiyeederim. 
->Yazan: Hasan Öğüt.

>>>YORUM YAZ<<<

Adınız:
Yorumunuz:


Yorumunuzda Silmek istediğiniz kelime veya cümle varsa kelimeyi fare ile seçin
ve
delete tuşuna basın...

 


 E Mail
(Zorunlu Değil):