eğitim öğretim ile ilgili belgeler > konu anlatımlı dersler > matematik dersi ile ilgili konu anlatımlar

POLİNOMLAR, POLİNOM ÇEŞİTLERİ, POLİNOM ÖZELLİKLERİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)

 

Polinomlarla İlgili Temel Kavramlar:

 

a0, a1, a2, ....an-1, an Î R ve n Î N olmak üzere, P(x) = an xn + an-1 xn-1 + .... + a1 x + a0 şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı, reel katsayılı n’inci dereceden bir polinom denir.

 

1.      an xn, an-1 xn-1, ...., ak xk, ....., ayx, a0 ifadelerinin her birine P(x) polinomunun terimleri denir.

2.      an, an-1, ...., ak, ...., ay, a0 reel sayılarına, polinomun terimlerinin katsayıları denir.

3.      P(x) polinomunda anxn terimindeki en büyük n sayısına polinomun derecesi denir ve [P(x)]=n şeklinde gösterilir.

4.      Derecesi en büyük olan anxn terimindeki an reel sayısına polinomun katsayısı, a0 sabitine ise polinomun sabit terimi denir.

5.      P(x) polinomu, terimlerin azalan derecelerine göre,

P(x) = anxn + an-1xn-1 + .... + a1x + a0 şeklinde veya P(x) polinomu terimlerin artan derecelerine göre,

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + .... + an-1xn-1 + anxn biçiminde sıralanır.

6.      Katsayıları reel sayılardan oluşan polinoma “Reel Katsayılı Polinom” denir ve reel katsayılı polinomlar kümesi R[x]  ile gösterilir.

 

Örnek:

P(x) = 2x5-3/n +xn-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n Î N kaç olmalıdır?

 

Çözüm:

5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3’ün bölenleri olmalıdır.

3’ün bölenleri ise n = 1, n = 3, n = -1, n = -3  Ayrıca n-2 ³ 0 den n ³ 2 olması gerekir. O halde bu iki şartı da gerçekleyen n = 3 sayısıdır. Buna göre, P(x) polinomu

P(x) = 2x5-3/3 + x3-2 + 4

P(x) = 2x4 + x + 4 dür.

 

ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOM

 

P(x, y) = x3y2 – 2x4 y3 + xy + x – y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı reel katsayılı bir polinom denir.

 

Bu polinomların derecesi x ve y’nin dereceler toplamının en büyüğüdür.

der P(x, y) = der P(x) + der P(y)  dir.

 

Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y’nin dereceler toplamıdır.

Der P(x, y) = 4 + 3 = 7 dir.

 

Örnek

P(x, y) = 2x2y4 – 3x3y5 + x2y3-y5 + 1 polinomunun derecesi kaçtır?

 

Çözüm:

2x2y4 teriminin derecesi 2 + 4 = 6

-3x3y5 teriminin derecesi 3 + 5 =8

x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 = 5

-y5 teriminin derecesi 5

Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir. O halde, der P(x, y) = 8 dir.

 

Örnek

P(x) = x3 – 3x2 + 4x – 2 ise

P(2)= ?, P(0) = ?, P(1) = ?

 

Çözüm:

P(2) = 23 – 3.22 + 4.2 – 2

= 8 – 12 + 8 – 2 = 2 bulunur.

P(0) = 03 – 3.02 + 4.0 – 2 = - 2  bulunur.

P(1) = 13 – 3.12 + 4.1 – 2

= 1 – 3 + 4 – 2 = 0 bulunur.

 

 

SIFIR POLİNOMU

 

P(X) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 polinomunda,

an = an-1 = ... = a1 = a0 = 0 ise; P(x) = 0xn + 0xn-1 + ... + 0x2 + 0x + 0 polinomuna, sıfır polinomu denir.

 

Sıfır polinomu, 0 ile gösterilir. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.

 

Örnek

P(x) = (m + 3)x2 + (n – 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m, n ve t reel sayılarını belirtelim.

 

Çözüm

P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için;

m + 3 = 0,      n – 5 = 0,      t = 0 ;

m = -3,           n = 5,      t = 0 olmalıdır.

 

SABİT POLİNOM

 

P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 polinomunda, an = an-1 = ... = a1 = 0 ve a0 ¹ 0 ise; P(x) polinomuna, sabit polinom denir.

 

0xn + 0xn-1 + ... + 0x + a0 sabit polinomu, a0 ile  gösterilir.

x0 = 1 olduğundan; a0 sabit polinomu, a0x0 biçiminde yazılabilir. Buna göre, sabit polinomun derecesi 0 dır.

 

Örnek P(x) = (a – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a ve b sayılarını belirtelim.

 

Çözüm

P(x) = A – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a – 4 = 0 ve b = 0 olmalıdır. Buna göre, a = 4 ve b = 0 dır.

 

İKİ POLİNOM EŞİTLİĞİ

 

Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan iki polinoma, eşit polinomlar denir.

 

n. dereceden,

A(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 ve

B(x) = bnxn + bn-1xn-1 + ... + b2x2 + b1x + b0  polinomları için;

A(x) = B(x) Û an = bn, an-1 = bn-1, ... , a2 = b2, a1, a0 = b0 dır.

 

 

Örnek

A(x) = 5x3 + (a + 1x2 + d,

polinomları veriliyor.

 

A(x) = B(x) olması için; a, b, c ve d yi bulalım.

 

Çözüm

 

POLİNOM FONKSİYONLARI

 

P : R ® R

x ® P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0  fonksiyonuna polinom fonksiyonu denir.

 

P : R ® R

x ® P(x) = 5x3 + 2x2 – 3x + 1  ifadesi polinom fonksiyonudur.

 

Örnek

P(x) = x2 + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz.

 

Çözüm

P(x-1)’i bulmak için P(x)’de x yerine x-1’i yazalım.

P(x-1) = (x-1)2 + 2(x-1) + 1

= x2 – 2x + 1 + 2x – 2 + 1 = x2

P(x-1) = x2 olarak bulunur.

 

II: Yol:

Önce P(x) = x2 + 2x + 1 = (x+1)2 olarak yazıp x yerine x-1’i yazalım.

P(x-1) = (x-1+1)2 = x2 bulunur.

 

Örnek

P(x) polinomu için,

P(x+2) = x3 – 2x2 + 4 eşitliği veriliyor. Buna göre P(x) polinomunu bulunuz.

 

Çözüm

P(x+2) = x3 - 2x2 + 4 eşitliğinde

H = x + 2 Þ  h –2 = x’i yerine yazalım.

P(h – 2 + 2) =  (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4

P(h) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4

P(x) = (x – 2)3 – 2(x – 2)2 + 4 bulunur.

 

 

POLİNOM KATSAYILAR TOPLAMI

 

P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0    polinomunda x = 1 yerine yazılırsa

P(1) = an + an-1 + ... + a1 + a0  katsayılar toplamı bulunur.

P(x) polinomunda x = 0 yerine yazılırsa sabit terimi bulunur.

 

Örnek

P(x) = 2x4 + 5x3 – 3x2 + x – 1 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz.

 

Çözüm

P(x) de x = 1 ‘i yerine yazalım.

P(1) = 2.14 + 5.13 – 3.12 + 1-1

= 2 + 5 – 3 + 1 – 1 = 4  bulunur.

 

POLINOMLARDA İŞLEMLER

 

Polinomlarda Toplama İşlemi

 

A(x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0

B(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0

Polinomları verilsin, bu iki polinomu toplarken aynı dereceli terimler kendi arasında toplanarak iki polinomun toplamı elde edilir. bilgiyelpazesi.com

A(x) + B(x) = a4 x4 + ( a3 + b3 ) x3 + ( a2 + b2 ) x2 + ( a1 + b1 ) x + a0 + b0

 

Örnek

P(x) = x3 + 2x2 – 3x + 1, Q(x) = 3x2 + Ö3 x + 4 polinomlarının toplamı olan polinomu bulunuz.

 

Çözüm

P(x) + Q(x) = x3 + (2+3) x2 + (-3) + Ö3) x + 1 + 4

= x3 + 5x2 + (Ö3-3) x + 5 dir.

 

Buna göre iki polinomun toplamı yine bir başka polinom olduğundan polinomlar toplama işlemine göre kapalıdır.

 

1.      Polinomlar kümesi, toplama işlemine göre kapalıdır.

2.      Polinomlar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.

3.      Polinomlar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.

4.      Sıfır polinomu, polinomlar kümesinde toplama işlemine göre birim elemanıdır.

5.      Her polinomun, toplama işlemine göre tersi vardır.

 

 

İki Polinomun Farkı

 

P(x) ve Q(x) polinomları için,  P(x) – Q(x) = P(x) + (-Q(x)) tir.

P(x) – Q(x) polinomuna, P(x) polinomu ile Q(x) polinomunun farkı denir.

 

Örnek

Çözüm

Bu örnekte görüldüğü gibi, iki polinomun farkı da bir polinomdur.

Her A(x) ve B(x) polinomları için, A(x) – B(x) ifadesi de polinom olduğundan; polinomlar kümesi, çıkarma işlemine göre kapalıdır.

 

 

Polinomlarda Çarpma İşlemi

 

A(x) ve b(x) gibi iki polinomun çarpımı, A(x) ‘in her terimi B(x)’in her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak bulunur.

anxn ile bkxk teriminin çarpımı

anxn . bkxk = (an . bk) xn+k dir.

Yani (5x3) . (-2x4) = 5 . (-2) x3+4 = -10x7

Bu çarpmaya göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.

Der [A(x) . B(x) ] = der (A(x)) + der (B(x))

 

Örnek

A(x) = 3x4 + 1,   B(x) = x2 + x

C(x) = x2 – x + 1  polinomları veriliyor.

a)      A(x) . B(x)

b)      B(x) . C(x)  çarpımlarını bulunuz.

 

Çözüm

a)      A(x) . B(x)  =  (3x4 + 1) . (x2 + x)

=  3x4 . x2 + 3x4 . x + x2 + x

=  3x6 + 3x5 + x2 + x

 

b)      B(x) . C(x)  =  (x2 + x) . (x2 – x + 1)

=  x2 . x2 – x2 . x + x2 . 1 + x . x2 – x . x + x . 1

=  x4 – x3 + x2 + x3 – x2 + x + 1

=  x4 + x + 1   bulunur.

 

 

Polinomlarda çarpma işleminin aşağıdaki özellikleri vardır.

 

1.      Kapalılık (iki polinomun çarpımı yine bir  polinomdur.

2.      Değişme özelliği vardır.

3.      Birleşme özelliği vardır.

4.      Çarpma işleminin birim (etkisiz) elemanı P(x) = 1 sabit polinomudur.

5.      Polinomlar kümesinde çarpma işlemine göre bazı polinomların tersi yoktur.

Yani P(x) = x2 polinomunun tersi 1/x2 ifadesi polinom değildir.

6.     Polinomlar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

A(x) . (B(x) + C(x)) = A(x) . B(x) + A(x) . C(x)

 

 

Polinomlar Halkası

 

Toplama ve çarpma işleminin özelliklerinden görüldüğü gibi R[x] polinomlar kümesi;

1.              (R[x],+) sistemi değişmeli gruptur.

2.              R[x] kümesi çarpma işlemine göre kapalı ve çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.

3.              R[x] kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.

O halde (R[x], + , .  ) sistemi bir halkadır. Buna polinomlar halkası denir.

 

 

Polinomlarda Bölme İşlemi

 

A(x) polinomunun B(x) polinomuna bölümü

 

Bölme işlemi yapılırken aşağıdaki hususlara dikkat edilmelidir.

 

1.              Polinomlar azalan kuvvetlerine göre sıralanmalıdır.

2.              Bölünen polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden büyük olmalıdır.

DerB(x)  < derA(x)

 

3.              Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olmalıdır.

Der R(x) < der B(x)

 

4.              R(x) = 0 ise A(x) polinomu B(x) polinomuna tam bölünüyor denir.

5.              der A(x) = der B(x) + der T(x)

 

 

Örnek

P(x) = x4-2x2 + x 5 polinomunu

Q(x) = x2 + 3x – 1 polinomuna bölelim.

 

 

Horner Metodu

 

Bölen, birinci dereceden ya da birinci dereceden polinomların çarpımından oluşuyorsa bu metot uygulanabilir.

 

Örnek

Px3 + qx2 + nx + s polinomunu (x – a) ‘ ya bölelim.

 

Çözüm

1.      Bölünen polinomun katsayıları x’in azalan kuvvetlerine göre sıralanır.

2.      Bölümün derecesi bölünenin derecesinden küçük olacağı için bölümde x3’ün katsayısı 0 olur.

3.      p katsayısı aşağıya aynen yazılır.

4.      a, p ile çarpılır, q’nun altına yazılarak toplanır. Ap + q olarak yazılır.

 

Bu işleme, kalan bulunana kadar devam edilir. bilgiyelpazesi.com

px3 + qx2 + rx + s,  x – a = 0  ise  x = a

 

 

Örnek

P(x) = x4 – x3 + 3x + 4 polinomunun x – 2’ye bölündüğünde bölüm ve kalanı horner metodu yardımıyla bulunuz.

 

Çözüm

P(x)’in katsayılarını belirleyip tabloda gösterelim. Ayrıca x –2 = 0 Þ x = 2 ‘yi yerine yazalım.

 

 

Bölüm B(x) = x3 + x2 + 2x + 7

 

Kalan  R(x) = 18 bulunur.

 

 

Bölme İşlemi Yapmadan Kalan Bulma

 

Bir P(x) Polinomunun x – a ile Bölünmesinde Elde Edilen Kalan

Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilecek bölüm Q(x) ve kalan k olsun. (x – a) birinci dereceden  olduğundan, kalan sabit bir sayıdır. P(x) = (x – a) Q (x) + k eşitliği her x için geçerlidir. Burada, x yerine a yazarsak P(a) = 0.Q(a) + k Þ P(a) = k bulunur.

 

Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilen kalan P(x) ya eşittir. O halde, bir polinomun (x – a) ile bölünmesinden kalanı bulmak için (x – a = 0 Þ x = a olur.) polinomda x yerine a değeri yazılır.

 

Örnek

P(x) = x2 – 3x + 21 polinomunun (x – 2) ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulunuz.

 

Çözüm

X – 2 = 0 Þ x = 2 dir. Bulacağımız kalan P(2) olacaktır. Öyleyse, P(2) = 22 – 3 . 2 + 21 = 19 olur.

 

Bir P(x) Polinomunun ax + b ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan

Bölen birinci dereceden olduğundan kalan yine sabit olur. Bölen olarak (ax + b) polinomunu alalım. Bu durumda P(x) = (ax + b) Q (x) + k  yazılır.

O halde, bir P(x) polinomunun (ax + b) ile bölünmesinden kalanı bulmak için polinomda x yerine

yazılır.

 

Örnek

P(x) = x3 – 4x + 1 polinomunun 2x – 1 ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

 

Çözüm

 

Bir P(x) Polinomunun x2 + a, x3 + a, x4 + a ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan

P(x) polinomunun x2 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x2 yerine –a yazılır.

P(x) polinomunun x3 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x3 yerine –a yazılır.

P(x) polinomunun x4 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x4 yerine –a yazılır.

 

Örnek

P(x) = x4 – x3 + x2 + 7x –1 polinomunun, x2 + 2 ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

 

Çözüm

İstenen kalanı bulmak için (x2 + 2 = 0 Þ x2 = -2) polinomda x2 yerine –2 yazarız.

P(x) = x2 . x2 – x2 . x + x2 + 7x – 1 olur.

Kalan : (-2) ( -2) – (-2) . x – 2 + 7x – 1 = 4 + 2x + 7x – 3 = 9x + 1 bulunur.

 

Bir Polinomun (x – a) (x – b) ile Bölünmesinden Elde Edilen Bölüm ve Kalan

Bir P(x) polinomunun (x – a) . (x – b) ile bölünmesini Horner yöntemi ile yapabiliriz. Verilen  P(x)  polinomu önce (x – a) ile bölünür, sonra elde edilen bölüm (x – b) ile bölünür.

 

Örnek

Bir P(x) polinomunun (x + 3) (x – 2) ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

 

Çözüm

(x + 3) (x – 2) polinomu 2. dereceden olduğuna göre, kalan polinom en fazla 1. derecedendir. Kalan polinom K(x) = ax + b biçimindedir. Bölüm özdeşliği yazılırsa, bilgiyelpazesi.com

P(x) = (x + 3) (x – 2) B(x) + ax + b biçiminde olur.

P(-3) = -5 ve P(2) = 4 olduğu veriliyor.

P(-3) = (-3 + 3) (-3 –2) . B (-3) –3a +b  Þ P(-3) = -3a + b

P(2) = (2 + 3) (2 – 2) . B(2) + ‘a +b       Þ P(2) = 2a +b  olur.

 

-3a + b = -5

2a + b  = 4

Örnek

Bir P(x) polinomunun x2 + 2 ile bölünmesinden kalan –2x + 6 ve P(x) polinomunun kat sayıları toplamı 7 ise bu P(x) polinomunun (x2 + 2) (x – 1) ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

 

Çözüm

Bir P(x) polinomunun kat sayıları toplamını bulmak için polinomda x yerine 1 yazılır. P(1) verilen polinomun kat sayıları toplamıdır. Burada, P(1) = 7 veriliyor. Diğer taraftan kalan, en fazla 2. dereceden  ax2 + bx + c biçiminde olur. Bölmenin özdeşliği yazılırsa;

P(x) = (x2 + 2) (x – 1) b(x) + ax2 + bx + c olur. Polinomda,

x = 1 için P(19 =  (1 + 2) . (1 – 1) . B(1) + a + b + c = a + b + c = 7 ve

x2 = -2 yazılırsa, -2a + bx + c = - 2x + 6 olur.

bx + c – 2a = -2x + 6 Þ b = -2  ve c-2a = 6 olur. Ayrıca, b = -2 ise a + b + c = 7 den

a – 2 + c = 7 Þ a + c = 9 dur.

c - 2a = 6

a + c = 9

Sistemi çözülürse, a = 1, c = 8 bulunur. Oyleyse, K(x) = x2 – 2x + 8  olur.

 

“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR” SAYFASINA GERİ DÖNMEK İÇİN

>>>TIKLAYIN<<<


“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ TEST SORULARI, SORU BANKASI” SAYFASINI GÖRMEK İSTERSENİZ

>>>TIKLAYIN<<<


“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ YAZILI SORULARI” SAYFASINI GÖRMEK İSTERSENİZ

>>>TIKLAYIN<<<

Yorumlar

.....

24. **Yorum**
->Yorumu: Adamsınız eywllh çok yardımcı oldu 
->Yazan: EMRe


23. **Yorum**
->Yorumu: Konu toparlanmis hatta dikkat edilmesi gereken yerlerde gosterilmis
->Yazan: 

22. **Yorum**
->Yorumu: Teşekkür ederim sayenizde ögrendim ALLAH razı olsun 
->Yazan: meltem

21. **Yorum**
->Yorumu: süperr odevm çok gzel oldu tşkkürler.
->Yazan: ilayda.

20. **Yorum**
->Yorumu: 10 numara 5 yıldız oldu ödevim çok teşekkür ederim...
->Yazan: ilayda.

19. **Yorum**
->Yorumu: HELAL OLSUN SÜPERSİNİZ ÇOK TEŞEKKÜRLER MÜTHİŞ BİR ÖDEV OLDU
->Yazan: UA BERKE 1905..

18. **Yorum**
->Yorumu: ÇOK TEŞEKKÜRLER SÜPERSİNİZ
->Yazan: UABERKE1905.

17. **Yorum**
->Yorumu: çok karışık geliyo yaa :/
->Yazan: ezgi.

16. **Yorum**
->Yorumu: Ben sayısal okudugum halde polinomlarda biraz eksiğim vardı yani soru çeşitliliği gözümü biraz korkutuyo.zaten oldukça uzun bi konu.İnşallah diğer soruları çözerken sorun yaşamam.Teşekkürler anlatımınız için. 
->Yazan: Rumeysa.

15. **Yorum**
->Yorumu: admin en zor anımda sitelere bakıyım dedim ve çok zor bi sorunun sınav öncesi çözme yolunu anladım ellerin dert görmesin saolasın :) 
->Yazan: Mustafa.

14. **Yorum**
->Yorumu: cok tesekkurler calıstım persembe gunu sınavım var ama hala konu tam olarak oturmadı kafama :( 
->Yazan: Büşra.

13. **Yorum**
->Yorumu: Valla süper olmuş o gün derste yoktum burdan baktım gerçekten güzel anlatmışsınız
->Yazan: Serife ..

12. **Yorum**
->Yorumu: Cok tesekkur ederim donem odevim 100. SUPER SUPER SUPER
->Yazan: Kenan.

11. **Yorum**
->Yorumu: teşekkürler yaa gerçektennn :D beni büyük bi dertten kurtardınızzz :D 
->Yazan: Ayşenurrr.

10. **Yorum**
->Yorumu: Oohhh bee dönem ödevi tam oldu süper ya
->Yazan: ayşenur.

->Yazan   : gürkan güven
->Yorumu: elinize salik site mütis olmus.

->Yazan : yasin biyikli
->Yorumu: sagul admin bana çok yardimci oldun.

->Yazan : Sena
->Yorumu: Dönem ödevim tamamdir, çok tesekkürleerr :).

->Yazan : Murat
->Yorumu: admin ellerine saglik yardimci oldunuz yeteri kadar eyv..

>Yazan: ömer faruk
>Yorum: admin gerçekten çok sagol siteyide güzel yapmissin eline saglik .

>Yazan: Alpay
>Yorum: Dönem ödevime yardimci oldunuz tesekkür ederim. .

>Yazan: Enes
>Yorum: Arkadaşlar Ben Soru Arıyordum Ama Yine De Güzel Olmuş....

>Yazan: kadir
>Yorum: çok saolun böylece yıllık ödev tmm dir:D.

>Yazan: Şenay
>Yorum: süper.

>>>YORUM YAZ<<<

Adınız:
Yorumunuz:


 




EĞİTİM ÖĞRETİM KONULARI Atasözleri Hikayeleri Özellikleri Belirli Gün ve Haftalar Çocuk Şarkıları - Şarkı Sözleri Hikayelerden Seçmeler İlginç Bilgiler Eğlenceli Bilgiler İllerimiz Ve İlçelerimiz Türkiye Kitap Özetleri Roman Özetleri Konu Anlatımlı Dersler Maniler Manilerden Seçmeler Masal Masallardan Seçmeler Meslek Tanıtımları Meslekler Rehberlik Köşesi Soru Bankası, Test Soruları Şiirler Seçme Güzel Şiirler Tekerleme Tekerlemeler Tiyatro Oyunları, Skeç, Piyes Türküler Türkü Sözleri Yazar Ve Şairlerin Hayatı Yazılı Soruları Arşivi ***Devamını Göster*** KONU ANLATIMLI DERSLER Beden Eğitimi Dersi Konu Anlatımı Bilgi Ve İletişim Teknolojileri Dersi Konu Anlatımı Biyoloji Dersi Konu Anlatımı Coğrafya Dersi Konu Anlatımı Din Kültürü Ve Ahlak Bilgisi Dersi Konu Anlatımı Edebiyat Dersi Konu Anlatımı Eğitim Bilimleri Dersi Konu Anlatımı Felsefe Dersi Konu Anlatımı Fen Bilimleri Dersi Konu Anlatımı Gelişim Ve Öğrenme Dersi Konu Anlatımı Hazreti Muhammed'in Hayatı Dersi Konu Anlatımı İngilizce Dersi Konu Anlatımı Matematik Dersi Konu Anlatımı Muhasebe Dersi Konu Anlatımı Tarih Dersi Konu Anlatımı Türkçe Dersi Konu Anlatımı Uluslar Arası İlişkiler Dersi Konu Anlatımı Vatandaşlık Anayasa İnsan Hakları Dersi Konu Anlatımı ***Devamını Göster*** YAZILI SORULARI YAZILILAR Biyoloji Yazılı Soruları Coğrafya Yazılı Soruları Dil Ve Anlatım Yazılı Soruları Din Kültürü Yazılı Soruları Edebiyat Yazılı Soruları Fen Bilimleri Yazılı Soruları Fizik Yazılı Soruları İngilizce Yazılı Soruları Kimya Yazılı Soruları İnkılap Tarihi Yazılı Soruları Matematik Yazılı Soruları Sosyal Bilgiler Yazılı Soruları Trafik Güvenliği Trafik Ve İlk Yardım Yazılı Soruları Türkçe Yazılı Soruları Vatandaşlık Ve Demokrasi Eğitimi Yazılı Soruları ***Devamını Göster*** SORU BANKASI TEST SORULARI Coğrafya Test Soruları Soru Bankası Din Kültürü Test Soruları Soru Bankası Edebiyat Test Soruları Soru Bankası Fen Bilimleri Test Soruları Soru Bankası İngilizce Test Soruları Soru Bankası İnkılap Tarihi Test Soruları Soru Bankası Matematik Test Soruları Soru Bankası Osmanlı Tarihi Test Soruları Soru Bankası Sosyal Bilgiler Test Soruları Soru Bankası Tarih Test Soruları Soru Bankası TC İnkılap Tarihi Test Soruları Soru Bankası Türkçe Test Soruları Soru Bankası Vatandaşlık Anayasa İnsan Hakları Test Soruları Soru Bankası ***Devamını Göster*** REHBERLİK KÖŞESİ Ders Çalışma Ödev Yapma İş Hayatı Başarısını Arttırma Kişisel Bedensel Gelişim Meslek Tanıtımları Okul Başarısını Arttırma Okuma Alışkanlığı Kazandırma Öğretmenlik Mesleği Sınavlara Hazırlanma Sinirini Engelle ***Devamını Göster*** HAYATIN İÇİNDEN BİLGİLER Cep Telefonu Mesajları İsimler Sözlüğü Pratik Bilgiler Yazıklar Olsun Zararları Sakıncaları ***Devamını Göster*** BİLGİSAYAR OYUNLARI Akıl Zeka Eğitici Oyunlar Araba Yarışı Oyunları Ateş Etme Hedef Vurma Oyunları Beceri Yetenek Oyunları Birleştirme Patlatma Oyunları Boyama Oyunları Dövüş Oyunları Futbol Oyunları Giysi Giydirme Oyunları Komik Eğlenceli Oyunlar Macera Oyunları Mario Oyunları Motosiklet Oyunları Savaş Oyunları Tasarlama Oyunları Yemek Yapma Oyunları ***Devamını Göster*** YEMEK TARİFLERİ MUTFAK Aperatifler Atıştırmalıklar Balık Yemekleri Tarifleri Tarifleri Börek Çörek Tarifleri Çorba Tarifleri Tarifleri Dolma Sarma Tarifleri Diyet Yemekleri Tarifleri Et Yemekleri Kebap Köfte Tarifleri Kek Tarifleri Komposto Tarifleri Kurabiye Tarifleri Pasta Tarifleri Pilav Tarifleri Reçel Tarifleri Salata Garnitür Tarifleri Sebze Yemeği Tarifleri Tatlı Turta Tart Tarifleri Tavuk Yemekleri Tarifleri ***Devamını Göster*** SAĞLIKLI YAŞAM REHBERİ Hastalıklar Çeşitleri Özellikleri Sağlık İçin Minik Notlar Sigaranın Zararları Sigarayı Bırakma Yolları Şifalı Bitkiler Listesi Şifalı Bitki Karışımları ***Devamını Göster***