eğitim öğretim ile ilgili belgeler > konu anlatımlı dersler > matematik dersi ile ilgili konu anlatımlar

POLİNOMLAR, POLİNOM ÇEŞİTLERİ, POLİNOM ÖZELLİKLERİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)

 

Polinomlarla İlgili Temel Kavramlar:

 

a0, a1, a2, ....an-1, an Î R ve n Î N olmak üzere, P(x) = an xn + an-1 xn-1 + .... + a1 x + a0 şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı, reel katsayılı n’inci dereceden bir polinom denir.

 

1.      an xn, an-1 xn-1, ...., ak xk, ....., ayx, a0 ifadelerinin her birine P(x) polinomunun terimleri denir.

2.      an, an-1, ...., ak, ...., ay, a0 reel sayılarına, polinomun terimlerinin katsayıları denir.

3.      P(x) polinomunda anxn terimindeki en büyük n sayısına polinomun derecesi denir ve [P(x)]=n şeklinde gösterilir.

4.      Derecesi en büyük olan anxn terimindeki an reel sayısına polinomun katsayısı, a0 sabitine ise polinomun sabit terimi denir.

5.      P(x) polinomu, terimlerin azalan derecelerine göre,

P(x) = anxn + an-1xn-1 + .... + a1x + a0 şeklinde veya P(x) polinomu terimlerin artan derecelerine göre,

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + .... + an-1xn-1 + anxn biçiminde sıralanır.

6.      Katsayıları reel sayılardan oluşan polinoma “Reel Katsayılı Polinom” denir ve reel katsayılı polinomlar kümesi R[x]  ile gösterilir.

 

Örnek:

P(x) = 2x5-3/n +xn-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n Î N kaç olmalıdır?

 

Çözüm:

5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3’ün bölenleri olmalıdır.

3’ün bölenleri ise n = 1, n = 3, n = -1, n = -3  Ayrıca n-2 ³ 0 den n ³ 2 olması gerekir. O halde bu iki şartı da gerçekleyen n = 3 sayısıdır. Buna göre, P(x) polinomu

P(x) = 2x5-3/3 + x3-2 + 4

P(x) = 2x4 + x + 4 dür.

 

ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOM

 

P(x, y) = x3y2 – 2x4 y3 + xy + x – y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı reel katsayılı bir polinom denir.

 

Bu polinomların derecesi x ve y’nin dereceler toplamının en büyüğüdür.

der P(x, y) = der P(x) + der P(y)  dir.

 

Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y’nin dereceler toplamıdır.

Der P(x, y) = 4 + 3 = 7 dir.

 

Örnek

P(x, y) = 2x2y4 – 3x3y5 + x2y3-y5 + 1 polinomunun derecesi kaçtır?

 

Çözüm:

2x2y4 teriminin derecesi 2 + 4 = 6

-3x3y5 teriminin derecesi 3 + 5 =8

x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 = 5

-y5 teriminin derecesi 5

Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir. O halde, der P(x, y) = 8 dir.

 

Örnek

P(x) = x3 – 3x2 + 4x – 2 ise

P(2)= ?, P(0) = ?, P(1) = ?

 

Çözüm:

P(2) = 23 – 3.22 + 4.2 – 2

= 8 – 12 + 8 – 2 = 2 bulunur.

P(0) = 03 – 3.02 + 4.0 – 2 = - 2  bulunur.

P(1) = 13 – 3.12 + 4.1 – 2

= 1 – 3 + 4 – 2 = 0 bulunur.

 

 

SIFIR POLİNOMU

 

P(X) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 polinomunda,

an = an-1 = ... = a1 = a0 = 0 ise; P(x) = 0xn + 0xn-1 + ... + 0x2 + 0x + 0 polinomuna, sıfır polinomu denir.

 

Sıfır polinomu, 0 ile gösterilir. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.

 

Örnek

P(x) = (m + 3)x2 + (n – 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m, n ve t reel sayılarını belirtelim.

 

Çözüm

P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için;

m + 3 = 0,      n – 5 = 0,      t = 0 ;

m = -3,           n = 5,      t = 0 olmalıdır.

 

SABİT POLİNOM

 

P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 polinomunda, an = an-1 = ... = a1 = 0 ve a0 ¹ 0 ise; P(x) polinomuna, sabit polinom denir.

 

0xn + 0xn-1 + ... + 0x + a0 sabit polinomu, a0 ile  gösterilir.

x0 = 1 olduğundan; a0 sabit polinomu, a0x0 biçiminde yazılabilir. Buna göre, sabit polinomun derecesi 0 dır.

 

Örnek P(x) = (a – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a ve b sayılarını belirtelim.

 

Çözüm

P(x) = A – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a – 4 = 0 ve b = 0 olmalıdır. Buna göre, a = 4 ve b = 0 dır.

 

İKİ POLİNOM EŞİTLİĞİ

 

Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan iki polinoma, eşit polinomlar denir.

 

n. dereceden,

A(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 ve

B(x) = bnxn + bn-1xn-1 + ... + b2x2 + b1x + b0  polinomları için;

A(x) = B(x) Û an = bn, an-1 = bn-1, ... , a2 = b2, a1, a0 = b0 dır.

 

 

Örnek

A(x) = 5x3 + (a + 1x2 + d,

polinomları veriliyor.

 

A(x) = B(x) olması için; a, b, c ve d yi bulalım.

 

Çözüm

 

POLİNOM FONKSİYONLARI

 

P : R ® R

x ® P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0  fonksiyonuna polinom fonksiyonu denir.

 

P : R ® R

x ® P(x) = 5x3 + 2x2 – 3x + 1  ifadesi polinom fonksiyonudur.

 

Örnek

P(x) = x2 + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz.

 

Çözüm

P(x-1)’i bulmak için P(x)’de x yerine x-1’i yazalım.

P(x-1) = (x-1)2 + 2(x-1) + 1

= x2 – 2x + 1 + 2x – 2 + 1 = x2

P(x-1) = x2 olarak bulunur.

 

II: Yol:

Önce P(x) = x2 + 2x + 1 = (x+1)2 olarak yazıp x yerine x-1’i yazalım.

P(x-1) = (x-1+1)2 = x2 bulunur.

 

Örnek

P(x) polinomu için,

P(x+2) = x3 – 2x2 + 4 eşitliği veriliyor. Buna göre P(x) polinomunu bulunuz.

 

Çözüm

P(x+2) = x3 - 2x2 + 4 eşitliğinde

H = x + 2 Þ  h –2 = x’i yerine yazalım.

P(h – 2 + 2) =  (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4

P(h) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4

P(x) = (x – 2)3 – 2(x – 2)2 + 4 bulunur.

 

 

POLİNOM KATSAYILAR TOPLAMI

 

P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0    polinomunda x = 1 yerine yazılırsa

P(1) = an + an-1 + ... + a1 + a0  katsayılar toplamı bulunur.

P(x) polinomunda x = 0 yerine yazılırsa sabit terimi bulunur.

 

Örnek

P(x) = 2x4 + 5x3 – 3x2 + x – 1 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz.

 

Çözüm

P(x) de x = 1 ‘i yerine yazalım.

P(1) = 2.14 + 5.13 – 3.12 + 1-1

= 2 + 5 – 3 + 1 – 1 = 4  bulunur.

 

POLINOMLARDA İŞLEMLER

 

Polinomlarda Toplama İşlemi

 

A(x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0

B(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0

Polinomları verilsin, bu iki polinomu toplarken aynı dereceli terimler kendi arasında toplanarak iki polinomun toplamı elde edilir. bilgiyelpazesi.com

A(x) + B(x) = a4 x4 + ( a3 + b3 ) x3 + ( a2 + b2 ) x2 + ( a1 + b1 ) x + a0 + b0

 

Örnek

P(x) = x3 + 2x2 – 3x + 1, Q(x) = 3x2 + Ö3 x + 4 polinomlarının toplamı olan polinomu bulunuz.

 

Çözüm

P(x) + Q(x) = x3 + (2+3) x2 + (-3) + Ö3) x + 1 + 4

= x3 + 5x2 + (Ö3-3) x + 5 dir.

 

Buna göre iki polinomun toplamı yine bir başka polinom olduğundan polinomlar toplama işlemine göre kapalıdır.

 

1.      Polinomlar kümesi, toplama işlemine göre kapalıdır.

2.      Polinomlar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.

3.      Polinomlar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.

4.      Sıfır polinomu, polinomlar kümesinde toplama işlemine göre birim elemanıdır.

5.      Her polinomun, toplama işlemine göre tersi vardır.

 

 

İki Polinomun Farkı

 

P(x) ve Q(x) polinomları için,  P(x) – Q(x) = P(x) + (-Q(x)) tir.

P(x) – Q(x) polinomuna, P(x) polinomu ile Q(x) polinomunun farkı denir.

 

Örnek

Çözüm

Bu örnekte görüldüğü gibi, iki polinomun farkı da bir polinomdur.

Her A(x) ve B(x) polinomları için, A(x) – B(x) ifadesi de polinom olduğundan; polinomlar kümesi, çıkarma işlemine göre kapalıdır.

 

 

Polinomlarda Çarpma İşlemi

 

A(x) ve b(x) gibi iki polinomun çarpımı, A(x) ‘in her terimi B(x)’in her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak bulunur.

anxn ile bkxk teriminin çarpımı

anxn . bkxk = (an . bk) xn+k dir.

Yani (5x3) . (-2x4) = 5 . (-2) x3+4 = -10x7

Bu çarpmaya göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.

Der [A(x) . B(x) ] = der (A(x)) + der (B(x))

 

Örnek

A(x) = 3x4 + 1,   B(x) = x2 + x

C(x) = x2 – x + 1  polinomları veriliyor.

a)      A(x) . B(x)

b)      B(x) . C(x)  çarpımlarını bulunuz.

 

Çözüm

a)      A(x) . B(x)  =  (3x4 + 1) . (x2 + x)

=  3x4 . x2 + 3x4 . x + x2 + x

=  3x6 + 3x5 + x2 + x

 

b)      B(x) . C(x)  =  (x2 + x) . (x2 – x + 1)

=  x2 . x2 – x2 . x + x2 . 1 + x . x2 – x . x + x . 1

=  x4 – x3 + x2 + x3 – x2 + x + 1

=  x4 + x + 1   bulunur.

 

 

Polinomlarda çarpma işleminin aşağıdaki özellikleri vardır.

 

1.      Kapalılık (iki polinomun çarpımı yine bir  polinomdur.

2.      Değişme özelliği vardır.

3.      Birleşme özelliği vardır.

4.      Çarpma işleminin birim (etkisiz) elemanı P(x) = 1 sabit polinomudur.

5.      Polinomlar kümesinde çarpma işlemine göre bazı polinomların tersi yoktur.

Yani P(x) = x2 polinomunun tersi 1/x2 ifadesi polinom değildir.

6.     Polinomlar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

A(x) . (B(x) + C(x)) = A(x) . B(x) + A(x) . C(x)

 

 

Polinomlar Halkası

 

Toplama ve çarpma işleminin özelliklerinden görüldüğü gibi R[x] polinomlar kümesi;

1.              (R[x],+) sistemi değişmeli gruptur.

2.              R[x] kümesi çarpma işlemine göre kapalı ve çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.

3.              R[x] kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.

O halde (R[x], + , .  ) sistemi bir halkadır. Buna polinomlar halkası denir.

 

 

Polinomlarda Bölme İşlemi

 

A(x) polinomunun B(x) polinomuna bölümü

 

Bölme işlemi yapılırken aşağıdaki hususlara dikkat edilmelidir.

 

1.              Polinomlar azalan kuvvetlerine göre sıralanmalıdır.

2.              Bölünen polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden büyük olmalıdır.

DerB(x)  < derA(x)

 

3.              Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olmalıdır.

Der R(x) < der B(x)

 

4.              R(x) = 0 ise A(x) polinomu B(x) polinomuna tam bölünüyor denir.

5.              der A(x) = der B(x) + der T(x)

 

 

Örnek

P(x) = x4-2x2 + x 5 polinomunu

Q(x) = x2 + 3x – 1 polinomuna bölelim.

 

 

Horner Metodu

 

Bölen, birinci dereceden ya da birinci dereceden polinomların çarpımından oluşuyorsa bu metot uygulanabilir.

 

Örnek

Px3 + qx2 + nx + s polinomunu (x – a) ‘ ya bölelim.

 

Çözüm

1.      Bölünen polinomun katsayıları x’in azalan kuvvetlerine göre sıralanır.

2.      Bölümün derecesi bölünenin derecesinden küçük olacağı için bölümde x3’ün katsayısı 0 olur.

3.      p katsayısı aşağıya aynen yazılır.

4.      a, p ile çarpılır, q’nun altına yazılarak toplanır. Ap + q olarak yazılır.

 

Bu işleme, kalan bulunana kadar devam edilir. bilgiyelpazesi.com

px3 + qx2 + rx + s,  x – a = 0  ise  x = a

 

 

Örnek

P(x) = x4 – x3 + 3x + 4 polinomunun x – 2’ye bölündüğünde bölüm ve kalanı horner metodu yardımıyla bulunuz.

 

Çözüm

P(x)’in katsayılarını belirleyip tabloda gösterelim. Ayrıca x –2 = 0 Þ x = 2 ‘yi yerine yazalım.

 

 

Bölüm B(x) = x3 + x2 + 2x + 7

 

Kalan  R(x) = 18 bulunur.

 

 

Bölme İşlemi Yapmadan Kalan Bulma

 

Bir P(x) Polinomunun x – a ile Bölünmesinde Elde Edilen Kalan

Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilecek bölüm Q(x) ve kalan k olsun. (x – a) birinci dereceden  olduğundan, kalan sabit bir sayıdır. P(x) = (x – a) Q (x) + k eşitliği her x için geçerlidir. Burada, x yerine a yazarsak P(a) = 0.Q(a) + k Þ P(a) = k bulunur.

 

Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilen kalan P(x) ya eşittir. O halde, bir polinomun (x – a) ile bölünmesinden kalanı bulmak için (x – a = 0 Þ x = a olur.) polinomda x yerine a değeri yazılır.

 

Örnek

P(x) = x2 – 3x + 21 polinomunun (x – 2) ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulunuz.

 

Çözüm

X – 2 = 0 Þ x = 2 dir. Bulacağımız kalan P(2) olacaktır. Öyleyse, P(2) = 22 – 3 . 2 + 21 = 19 olur.

 

Bir P(x) Polinomunun ax + b ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan

Bölen birinci dereceden olduğundan kalan yine sabit olur. Bölen olarak (ax + b) polinomunu alalım. Bu durumda P(x) = (ax + b) Q (x) + k  yazılır.

O halde, bir P(x) polinomunun (ax + b) ile bölünmesinden kalanı bulmak için polinomda x yerine

yazılır.

 

Örnek

P(x) = x3 – 4x + 1 polinomunun 2x – 1 ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

 

Çözüm

 

Bir P(x) Polinomunun x2 + a, x3 + a, x4 + a ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan

P(x) polinomunun x2 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x2 yerine –a yazılır.

P(x) polinomunun x3 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x3 yerine –a yazılır.

P(x) polinomunun x4 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x4 yerine –a yazılır.

 

Örnek

P(x) = x4 – x3 + x2 + 7x –1 polinomunun, x2 + 2 ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

 

Çözüm

İstenen kalanı bulmak için (x2 + 2 = 0 Þ x2 = -2) polinomda x2 yerine –2 yazarız.

P(x) = x2 . x2 – x2 . x + x2 + 7x – 1 olur.

Kalan : (-2) ( -2) – (-2) . x – 2 + 7x – 1 = 4 + 2x + 7x – 3 = 9x + 1 bulunur.

 

Bir Polinomun (x – a) (x – b) ile Bölünmesinden Elde Edilen Bölüm ve Kalan

Bir P(x) polinomunun (x – a) . (x – b) ile bölünmesini Horner yöntemi ile yapabiliriz. Verilen  P(x)  polinomu önce (x – a) ile bölünür, sonra elde edilen bölüm (x – b) ile bölünür.

 

Örnek

Bir P(x) polinomunun (x + 3) (x – 2) ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

 

Çözüm

(x + 3) (x – 2) polinomu 2. dereceden olduğuna göre, kalan polinom en fazla 1. derecedendir. Kalan polinom K(x) = ax + b biçimindedir. Bölüm özdeşliği yazılırsa, bilgiyelpazesi.com

P(x) = (x + 3) (x – 2) B(x) + ax + b biçiminde olur.

P(-3) = -5 ve P(2) = 4 olduğu veriliyor.

P(-3) = (-3 + 3) (-3 –2) . B (-3) –3a +b  Þ P(-3) = -3a + b

P(2) = (2 + 3) (2 – 2) . B(2) + ‘a +b       Þ P(2) = 2a +b  olur.

 

-3a + b = -5

2a + b  = 4

Örnek

Bir P(x) polinomunun x2 + 2 ile bölünmesinden kalan –2x + 6 ve P(x) polinomunun kat sayıları toplamı 7 ise bu P(x) polinomunun (x2 + 2) (x – 1) ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

 

Çözüm

Bir P(x) polinomunun kat sayıları toplamını bulmak için polinomda x yerine 1 yazılır. P(1) verilen polinomun kat sayıları toplamıdır. Burada, P(1) = 7 veriliyor. Diğer taraftan kalan, en fazla 2. dereceden  ax2 + bx + c biçiminde olur. Bölmenin özdeşliği yazılırsa;

P(x) = (x2 + 2) (x – 1) b(x) + ax2 + bx + c olur. Polinomda,

x = 1 için P(19 =  (1 + 2) . (1 – 1) . B(1) + a + b + c = a + b + c = 7 ve

x2 = -2 yazılırsa, -2a + bx + c = - 2x + 6 olur.

bx + c – 2a = -2x + 6 Þ b = -2  ve c-2a = 6 olur. Ayrıca, b = -2 ise a + b + c = 7 den

a – 2 + c = 7 Þ a + c = 9 dur.

c - 2a = 6

a + c = 9

Sistemi çözülürse, a = 1, c = 8 bulunur. Oyleyse, K(x) = x2 – 2x + 8  olur.

 


“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR” SAYFASINA GERİ DÖNMEK İÇİN

>>>TIKLAYIN<<<


“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ TEST SORULARI, SORU BANKASI” SAYFASINI GÖRMEK İSTERSENİZ

>>>TIKLAYIN<<<


“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ YAZILI SORULARI” SAYFASINI GÖRMEK İSTERSENİZ

>>>TIKLAYIN<<<

Yorumlar

.....

24. **Yorum**
->Yorumu: Adamsınız eywllh çok yardımcı oldu 
->Yazan: EMRe


23. **Yorum**
->Yorumu: Konu toparlanmis hatta dikkat edilmesi gereken yerlerde gosterilmis
->Yazan: 

22. **Yorum**
->Yorumu: Teşekkür ederim sayenizde ögrendim ALLAH razı olsun 
->Yazan: meltem

21. **Yorum**
->Yorumu: süperr odevm çok gzel oldu tşkkürler.
->Yazan: ilayda.

20. **Yorum**
->Yorumu: 10 numara 5 yıldız oldu ödevim çok teşekkür ederim...
->Yazan: ilayda.

19. **Yorum**
->Yorumu: HELAL OLSUN SÜPERSİNİZ ÇOK TEŞEKKÜRLER MÜTHİŞ BİR ÖDEV OLDU
->Yazan: UA BERKE 1905..

18. **Yorum**
->Yorumu: ÇOK TEŞEKKÜRLER SÜPERSİNİZ
->Yazan: UABERKE1905.

17. **Yorum**
->Yorumu: çok karışık geliyo yaa :/
->Yazan: ezgi.

16. **Yorum**
->Yorumu: Ben sayısal okudugum halde polinomlarda biraz eksiğim vardı yani soru çeşitliliği gözümü biraz korkutuyo.zaten oldukça uzun bi konu.İnşallah diğer soruları çözerken sorun yaşamam.Teşekkürler anlatımınız için. 
->Yazan: Rumeysa.

15. **Yorum**
->Yorumu: admin en zor anımda sitelere bakıyım dedim ve çok zor bi sorunun sınav öncesi çözme yolunu anladım ellerin dert görmesin saolasın :) 
->Yazan: Mustafa.

14. **Yorum**
->Yorumu: cok tesekkurler calıstım persembe gunu sınavım var ama hala konu tam olarak oturmadı kafama :( 
->Yazan: Büşra.

13. **Yorum**
->Yorumu: Valla süper olmuş o gün derste yoktum burdan baktım gerçekten güzel anlatmışsınız
->Yazan: Serife ..

12. **Yorum**
->Yorumu: Cok tesekkur ederim donem odevim 100. SUPER SUPER SUPER
->Yazan: Kenan.

11. **Yorum**
->Yorumu: teşekkürler yaa gerçektennn :D beni büyük bi dertten kurtardınızzz :D 
->Yazan: Ayşenurrr.

10. **Yorum**
->Yorumu: Oohhh bee dönem ödevi tam oldu süper ya
->Yazan: ayşenur.

->Yazan   : gürkan güven
->Yorumu: elinize salik site mütis olmus.

->Yazan : yasin biyikli
->Yorumu: sagul admin bana çok yardimci oldun.

->Yazan : Sena
->Yorumu: Dönem ödevim tamamdir, çok tesekkürleerr :).

->Yazan : Murat
->Yorumu: admin ellerine saglik yardimci oldunuz yeteri kadar eyv..

>Yazan: ömer faruk
>Yorum: admin gerçekten çok sagol siteyide güzel yapmissin eline saglik .

>Yazan: Alpay
>Yorum: Dönem ödevime yardimci oldunuz tesekkür ederim. .

>Yazan: Enes
>Yorum: Arkadaşlar Ben Soru Arıyordum Ama Yine De Güzel Olmuş....

>Yazan: kadir
>Yorum: çok saolun böylece yıllık ödev tmm dir:D.

>Yazan: Şenay
>Yorum: süper.

>>>YORUM YAZ<<<
Adınız:
Yorumunuz:


 




OOO! BU YAZILAR DA ÇOK BEĞENİLMİŞ BİR GÖZ AT!!!


<<<TELİF HAKKI KONUSU (ALTTAKİ KAYAN YAZI) LÜTFEN OKUYUNUZ !.>>>

...Degerli Ziyaretçilerimiz... Sitemizde sizler için hazirladigimiz binlerce yazi bulunmaktadir... Hassas davranmamiza karsin gözümüzden kaçan bazi yazilar telif hakkiyla korunuyor olabilir... Telif Hakkiyla korunan yazilarla karsilasirsaniz (KAYNAK GÖSTERMENIZ SARTIYLA) yazilarin altindaki YORUM YAZ kismina bildirmenizi rica ederiz... Bu tür yazilar derhal siteden kaldirilacaktir... Saygilarimizla ... Bilgiyelpazesi Ekibi...

Eğitim Öğretim Tüm Konular
Tiyatro Oyunları, Skeçler, Piyesler
Çocuk Şarkıları - Şarkı Sözleri
Kitap Özetleri
Belirli Gün ve Haftalar Tüm Belgeler
Konu Anlatımlı Dersler
İlahiler, İlahi Sözleri
Türküler, Türkü Sözleri, Türkülerimiz
Rehberlik Köşesi Belgeler, Araştırmalar, Yazılar
Roman Özetleri
Soru Bankası, Test Soruları
Yazarların, Şairlerin Hayatı, Eserleri / Kitapları, Edebi Kişilikleri
Yazılı Soruları - Yazılı Arşivi
Atasözleri ve Özellikleri
Belirli Gün ve Haftalar Tüm Belgeler
Coğrafya Dersi Konu Anlatımlar - Testler - Yazılılar
Din Kültürü Ve Ahlak Bilgisi Dersi Yazılılar, Testler
Çeşitli Yazılar, Oradan Buradan
Çocuk Eğitimi
Çocuk Oyunları, Oyunlar
Çocuk Şarkıları - Şarkı Sözleri
Dede Korkut Hikayeleri, Özetleri, Özellikleri
Destan, Destanlarımız Ve Özellikleri
Dil İle Kültür Arasındaki İlişki, Dil Nedir, Kültür Nedir
Edebiyat Dersi Konu Anlatımlar - Test - Yazılı Soruları
Eğitim Bilimleri Dersi Konu Anlatımlar - Test Soruları
Enler Bölüm Bölüm
Fen Bilimleri Dersi Konu Anlatımlar - Testler - Yazılılar
Gelişim Ve Öğrenme Psikolojisi Dersi Konu Anlatımlar, Testler
Güzel Sözlerden Seçmeler, Özdeyişler, Vecizeler
Hazır Cevaplar
Hikayelerden Seçmeler
İllerimiz Ve İlçelerimiz Özellikleri Türkiye Tanıtımı
İlginç Ve Eğlenceli Bilgiler
İlkler Bölüm Bölüm
İngilizce Dersi Konu Anlatımlar - Test - Yazılı Soruları
İnkılap Tarihi Dersi Konu Anlatımlar - Testler - Yazılılar
İsimler Ve Anlamları
Karne Bilgileri Öğretmen Görüşü Örnekleri
Kitap Özetleri
Konu Anlatımlı Dersler
Maniler, Manilerimiz
Masallardan Seçmeler
Matematik Dersi Konu Anlatımlar - Test - Yazılı Soruları
Meslek Tanıtımları, Meslek Seçimi, Özellikleri
Mesnevi'den Hikayeler
Muhasebe Dersi Konu Anlatımlar - Test - Yazılı Soruları
Ninni Ninni Ninniler, Ninnilerden Seçmeler
Pratik Bilgiler
Rehberlik Köşesi Belgeler, Araştırmalar, Yazılar
Roman Özetleri
Sayışmaca - Sayışmacalar, Sayışmacalardan Seçmeler
Sizin Gönderdikleriniz
Soru Bankası, Test Soruları
Sözlük Türkçe - İngilizce - Almanca
Şiir Koleksiyonu - Seçme Güzel Şiirler
Tarih Dersi Konu Anlatımlar - Test - Yazılı Soruları
TC İnkılap Tarihi Dersi Konu Anlatımlar - Testler - Yazılılar
Tekerleme - Tekerlemeler, Tekerlemelerden Seçmeler
Tiyatro Oyunları, Skeçler , Piyesler
Türkçe Dersi Konu Anlatımlar - Test Soruları
Türküler, Türkü Sözleri, Türkülerimiz
Uluslararası İlişkiler Ve Politika Konu Anlatımlar
Vatandaşlık, Anayasa, İnsan Hakları Konu Anlatımlar - Testler - Yazılılar
Yazarların, Şairlerin Hayatı, Eserleri / Kitapları, Edebi Kişilikleri
Yazılı Soruları - Yazılı Arşivi  
Devamını Göster >>>

EĞİTİM ÖĞRETİM TÜM BİLGİLER

Konu Anlatımlı Dersler
Soru Bankası Testler
Yazılı Soruları Arşiv
Tiyatrolar,Skeç,Piyesler
Roman - Kitap Özetleri
Belirli Gün ve Haftalar
Çocuk Şarkıları, Şarkı Sözleri
İlahiler, İlahi Sözleri
Atasözleri Hikayeleri Özellikleri
Yazar ve Şairlerin Hayatı
Destanlar Ve Özellikleri
Dil İle Kültür İlişkisi
Enler Bölüm Bölüm
Güzel Sözler, Özdeyişler
Hayatın İçinden Bilgiler
Hikayelerden Seçmeler
İl İlçe Türkiye Tanıtımı
İlginç Eğlenceli Bilgiler
İlkler Bölüm Bölüm
İsimler Ve Anlamları
Maniler Manilerimiz
Masallardan Seçmeler
Meslek Tanıtımları
Mesnevi'den Hikayeler
Ninni Ninni Ninniler
Pratik Bilgiler
Sayışmaca Sayışmacalar
Şiirler, Şiir Koleksiyonu
Tekerleme Tekerlemeler
Devamını Göster>>>
 

KONU ANLATIMLI DERS

Beden Eğit Konu Anlatım
Bilgi İletişim Konu Anlat.
Biyoloji Konu Anlatım
Coğrafya Konu Anlatım
Din Kültürü Anlatım
Edebiyat Konu Anlatım
Eğitim Bilimleri Anlatım
Felsefe Konu Anlatım
Fen Ve Tekno. Anlat
Gelişim Ve Öğrenme
İngilizce Konu Anlatım
İnkılap Tarihi Konu Anlat.
Matematik Konu Anlatım
Muhasebe Konu Anlatım
Osmanlı Tarihi Anlat.
Tarih Dersi Konu Anlatım
Türkçe Dersi Anlatım
Uluslararası İlişkiler
Vatandaşlık Ve Anayasa
  

YAZILI SORULARI ARŞİVİ

Biyoloji Dersi Yazılıları
Coğrafya Dersi Yazılıları
Dil Ve Anlatım Yazılıları
Din Kültürü Yazılıları
Edebiyat Dersi Yazılıları
Fen Bilimleri Yazılıları
Fizik Yazılıları
İngilizce Yazılıları
İnkılap Tarihi Yazılıları
Kimya Yazılıları
Matematik Dersi Yazılıları
Sosyal Bilgiler Yazılıları
Trafik Dersi Yazılıları
Türkçe Dersi Yazılıları
Vatandaşlık Yazılıları
  

SORU BANKALARI TESTLER

Coğrafya Soru Bankası
Din Kültür. Soru Bankası
Edebiyat Soru Bankası
Fen Ve Tek Soru Bankası
İngilizce Soru Bankası
İnkılap Tarihi Soru Bank
KPSS Soru Bankası
Matematik Soru Bankası
Sosyal Bil. Soru Bankası
Tarih Dersi Soru Bankası
Türkçe Soru Bankası
Vatandaşlık Soru Bankası
  

REHBERLİK KÖŞESİ

Ders Çalışma, Ödev Yap
İş Hayatı Başarısı
Kişisel Bedensel Gelişim
Meslek Tanıtımları
Okul Başarısı, Uyum
Okuma Alışkanlığı Kazan.
Öğretmenlik Mesleği
Sınavlara Hazırlık Rehber
Sinirini Engelle
  

BİLGİSAYAR OYUNLARI

Akıl Zeka Eğitici Oyunlar
Araba, Yarış Oyunları
Ateş Etme Oyunları
Beceri Yetenek Oyunları
Birleştirme Patlatma
Boyama Oyunları
Dövüş Oyunları
Futbol Oyunları
Giysi Giydirme Oyunları
Hedef Vurma
Komik Eğlenceli Oyunlar
Macera Oyunları
Mario Oyunları
Motosiklet Yarışı
Resim Yapma Oyunları
Savaş Oyunları
Silah Oyunlar
Tasarlama Oyunları
Yemek Yapma Oyunları
Devamını Göster>>>
  

YEMEK TARİFLERİ MUTFAK

Aperatifler Atıştırmalar
Balık Yemeği Tarifleri
Börekler Çörekler
Çorba Tarifleri
Dolma Tarifleri
Deniz Ürünü Tarifleri
Diyet Yemeği Tarifleri
Et Yemeği Tarifleri
Kebaplar Köfte Tarifleri
Kek Tarifleri
Komposto Tarifleri
Kurabiye Tarifleri
Pasta Tarifleri
Pilav Tarifleri
Reçel Tarifleri
Salatalar, Garnitürler
Salçalar, Soslar
Sarma Tarifleri
Sebze Yemeği Tarifleri
Tatlılar, Tartlar, Turta
Tavuk Yemeği Tarifleri
Devamını Göster>>>
  

SAĞLIKLI YAŞAM İÇİN BİLGİLER

Hastalıklar, Çeşitleri
Sağlık Kısa Notlar
Sigara Zararları, Bırakma
Şifalı Bitkiler, Özellikleri
Şifalı Bitki Karışımları