Eğitim Öğretim İle İlgili Belgeler > Konu Anlatımlı Dersler > Matematik Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar

SONLU GEOMETRİ SORUSU (MATEMATİK KONU ANLATIM)

ugün profesyonel bir matematikçinin nasıl kendi kendine soru sorabileceğine örnek

vereceğim, yani gerçek matematik yapacağız. Umarım hoşunuza gider.

Soracağım soruyu geçen yaz İspanya’da bir arkadaşım sormuştu. Güzel bir

İspanyol kaldırım kahvesinde şarap içip sohbet ediyorduk arkadaşlarla. Türkiye’de

popüler matematik yazıları yazdığımı, bildikleri güzel sorular varsa bana söylemelerini istedim.

Biri birazdan okurlara soracağım soruyu sordu. Soruya bayıldım, ama yanıtını hemen istemedim.

Yanıtını kendim arayarak bulamadığım bir soruyu okurlarıma sormam. Yanıtı bulmak için en az

bir saat uğraştığımı itiraf etmeliyim. Salt ben değil, soruyu soran dışında hepimiz düşündük.

Demek istediğim, profesyonel matematikçilerin ancak saatlerce düşünüp yanıtlayabildiği bir

soruyla karşı karşıyasınız.

Matematikte, sık sık, çok iyi bilinen bir nesnenin birkaç özelliği ele alınır ve bu özellikleri

olan başka nesneler aranır. Böylece yeni ilginç matematiksel nesneler keşfedilir. Bugün,

düzlemin iki özelliğini ele alacağız ve bu iki özelliği bulunan başka nesneler arayacağız.

Bildiğimiz düzlemin nokta ve doğruların aşağıdaki şu iki özelliği vardır:

1) Her iki noktadan bir doğru geçer.

2) Her doğrunun üstünde en az üç nokta vardır.

Bu iki özelliği herkes bilir. Bu yazının konusu, yukardaki iki koşulu sağlayan ve düzlemin

birtakım nokta ve doğrularından oluşan nokta ve doğru kümeleri bulmak.

Bu iki özelliği olan bir örnek verdim, o örnekte düzlemin her noktasını ve her doğrusunu

almıştık. Bir başka örnek daha vereyim. Vereceğim örnek, düzlemin bazı nokta ve doğrularından

oluşacak. Kordinatları tamsayı olan noktaları ve bu noktalardan geçen tüm doğruları ele alalım.

Bu nokta ve doğrulardan oluşan kümeye A adını verelim. İşte A kümesinin birkaç öğesi:

Bir noktanın A kümesinde olması için, o noktanın

her iki kordinatının da tamsayı olması gerekmektedir. Bir

doğrunun A kümesinde olması için de, o doğrunun A

kümesinin en az iki noktasından geçmesi gerekmektedir (Cebirsel olarak ifade etmek istersek, A kümesi, a, b ve c tamsayıları için denklemi ax + by + c = 0 olan doğrulardan oluşur.).

Tanımlamış olduğum A kümesinin nokta ve

doğruları da yukardaki iki özelliği sağlarlar, yani,

1) A’nın her iki noktasından yine A’da olan bir doğru

geçer.

2) A’nın her doğrusunun üstünde yine A’da bulunan

en az üç nokta vardır.

Bir başka örnek daha ele alalım. B kümesi bir

doğrudan ve bu doğru üstünde bulunan en az üç noktadan oluşsun. Elbette B kümesinin de

yukardaki iki özelliği vardır.

Sorumuz şu: K, bildiğimiz düzlemin birtakım nokta ve doğrularından oluşan bir kümeyse

ve K’de en az iki doğru varsa, K sonlu olabilir mi? Olabilirse, bir örnek verin; olamazsa neden

olamayacağını açıklayın (yani olamayacağını kanıtlayın.)

K’nin nokta ve doğrularının düzlemde olması (düzleme çizilebilmesi) önemlidir. Yoksa 7

noktalı ve 7 “doğrulu” bir örnek uydurmak pek zor değildir. İşte o örnek: Noktalarımıza A, B, C,

D, E, F, G diyelim. Doğrularımız da aşağıdakı nokta kümeleri olsunlar:

{A,B,C}

{A,G,D}

{A,F,E}

{C,D,E}

{B,G,E}

{C,G,F}

{B,G,E}

Bu örneği bir düzlemde çizmek isterseniz, bir tek doğru olması gerektiğini, yani 7 noktanın

da aynı doğru üstünde olmak zorunda kaldığını görürsünüz. Eğer en az iki doğru istiyorsak,

doğruların biri (aşağıdaki çember gibi) yamuk olmak zorundadır:

Bildiğimiz düzlemde yamuk doğru olamayacağından bu

örnek geçerli değildir. Benim istediğim, düzleme

çizebileceğimiz ve doğruların gerçekten doğru olduğu bir

örnektir.

Sorumun yanıtını vereyim: Yukardaki iki özelliği

sağlayan sonlu bir K kümesi yoktur. Neden?

Bir an için yukardaki iki özelliği sağlayan sonlu bir K

kümesinin olduğunu varsayalım. Bu varsayımdan bir çelişki

elde edeceğiz. K kümesi düzlemin sonlu sayıda nokta ve doğrularından oluşuyor, bu önemli,

çelişki bundan gelecek.

Yukarıdaki şekle bakarak okumayı sürdürün. K kümesi

sonlu olduğundan, K kümesinde birbirine en yakın olan, ama

aralarındaki uzaklık 0 olmayan bir nokta ve bir doğru vardır. O

noktaya P, doğruya da  adını verelim. P noktası  doğrusunun

üstünde değil. P’den ’ye bir dik inelim. P’nin ’deki

izdüşümüne R diyelim.  doğrusunun üstünde K kümesinde

olan en az üç nokta olmalı, diyelim A, B ve C noktaları. Bu üç noktadan ikisi R’nin bir yanında,

biri de öbür yanında olmak zorundadır elbet (en kötü olasılıkla bu üç noktadan biri R olabilir,

ama bunun önemi yok.) Bu üç noktanın yukardaki şekildeki gibi dağıldığını varsayalım: ikisi

sağında, biri solunda. B noktasıyla (bilgi yelpazesi. com) CP doğrusunun K kümesinde olduğuna dikkatinizi çekerim.

Şimdi, B noktasının CP doğrusuna olan uzaklığı (yani |BD| uzaklığı), P noktasının  doğrusuna

olan uzaklığından (yani |PR|’den) daha küçüktür, çünkü,

|BD| < |EB| < |PR|

eşitsizlikleri geçerlidir. Ama hani P noktasının  doğrusuna olan uzaklığı K’deki noktaların yine

K’deki doğrulara olan uzaklıkların en küçüğüydü? Bir çelişki elde ettik. Demek ki öyle bir K

kümesi yokmuş. (Olsaydı evren tepemize yıkılırdı.)