Eğitim Öğretim İle İlgili Belgeler > Konu Anlatımlı Dersler > Matematik Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar

BİNOM AÇILIMI, ÖZELLİKLERİ (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)

Binom açılımındaki katsayıları paskal üçgeni ile de bulabiliriz.

1 ...........................(x+y)0

1 1 ........................(x+y)1

1 2 1 .....................(x+y)2

1 3 3 1 ..................(x+y)3

1 4 6 4 1 ...............(x+y)4

x ve y reel sayı ve n pozitif bir doğal sayı olmak şartıyla

ifadesine x+ y iki terimlisinin n inci kuvvetten açılımı, bir diğer ifadeyle binom açılımı denir.

Sonuçlar :

1. Açılımda n+1 tane terim vardır.

2. Açılımı oluşturan terimlerin çarpanlarının kuvvetleri toplamı n’dir. mesela, açılımın bir terimi olan

de terimi oluşturan  çarpanı ile  çarpanının kuvvetlerinin toplamı, n-r + r = n’ dir.

3. Açılımda terimlerin katsayılarının toplamı değişkenlerin yerine 1 yazılarak bulunur. Gerçekten, x=1 ve y=1 alınırsa , C (n,0) + C (n,1) + C (n,2) + ...... + C (n,n) =  olur. n elemanlı bir kümenin alt küme sayısının  olduğunu hatırlayınız.

Benzer bir yaklaşımla tanımlı olduğu durumlar için değişkenlerin yerine 0 yazılarak açılımın sabit terimi bulunur. x = 0 ve y = 0 yazılırsa sabit terim 0 olur.

4. Açılım x’in azalan kuvvetlerine göre düzenlendiğinde baştan (r+1) . terim, dir.

5.  açılımında n pozitif bir tam sayı ve açılım x’in azalan kuvvetlerine göre düzenlenmiş ise ortanca terim,  ‘dir.

Bir kümenin alt kümelerinin sayısını gösteren “PASCAL” üçgenini oluşturalım.

Kümenin Eleman Sayısı:

s(A)=0...........................................................1

s(A)=1........................................................1.....1

s(A)=2...................................................1.....2.....1

s(A)=3..............................................1.....3.....3.....1

s(A)=4..........................................1.....4.....6.....4.....1

s(A)=5......................................1.....5.....10....10.....5....1  ...

Üçgenin tepesinde 1 yazdık.Sonraki satırların ilk ve son sayılarını yine 1 aldık.Bir satırda ardışık iki sayının toplamını, bu sayıların ortasına gelecek şekilde bir alt satıra yazdık.Bu işlemlere yukardan aşağı doğru devam ettik.

Örneğin;

 s(A)=4 ..............1.....4.....6.....4.....1

s(A)=5..........1.....5.....10.....10.....5.....1

Bu tablodaki sayıların ne ifade ettiğini gösterelim.

A={a,b,c} kümesi 3 elemanlı olup bu kümenin alt kümelerini yazalım.

0 elemanlı alt kümesi{}                                             1 tane

1 elemanlı alt kümeleri{a},{b},{c}                            3 tane

2 elemanlı alt kümeleri{a,b},{a,c},{b,c}                  3 tane

3 elemanlı alt kümeleri{a,b,c}                                 1 tane

s(A)=3 olan satırdaki sayılar olduğunu görünüz.O halde bu tablo, bir kümenin 0 elemanlı, 1 elemanlı, 2 elemanlı,....alt kümelerinin (bilgi yelpazesi.net) sayısını gösterir.

Pascal Üçgenini biraz daha büyüterek aşağıdaki örnekleri inceleyelim.

*6 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı 15 tane alt kümesi vardır.(s(A)=6‘nın satırındaki üçüncü sayı)

*5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı en az 3 elemanlı kaç tane alt kümesi olduğunu araştıralım:

3 elemanlı..........10..........(s(A)=5’in satırında 4. sayı)

4 elemanlı..........5..........(s(A)=5’in satırında 5. sayı)

*7 elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı kaç alt kümesi olduğunu araştıralım:

1.YOL: (21+35+21+7+1)=120

2.YOL: 2 7-(1+7)=128-8=120  (Neden?)

Binom Açılımı:

(a+b)n nin açılımında Pascal Üçgenindeki sayılar terimdeki katsayıları olur.a’nın kuvvetleri n den 0 a kadar azalarak, b’nin kuvvetleri 0 dan n ye kadar artarak yazılır.

* (a+b)5=?

(a+b)5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5

* (5x-3y)2=?

(5x-3y)2= 25x2 -2.5x.3y +9y2= 25x2 –30xy +9y2

Yukarda ki  örnekten de görülebileceği gibi negatif terimin tek kuvvetlerinin olduğu terimlerin işareti negatiftir.