Eğitim Öğretim İle İlgili Belgeler > Konu Anlatımlı Dersler > Matematik Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar

DİZİLER, MATEMATİKSEL DİZİLER, ÇEŞİTLERİ, ÖZELLİKLERİ (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)

TANIM:

Tanım kümesi N⁺ = {1,2,3,…,n,…} olan her fonksiyona dizi denir. Fonksiyonun değer kümesi R reel (gerçel) sayılar kümesi ise diziye gerçel sayı dizisi adı verilir.

Yani gerçel sayı dizisi f : N⁺ à R şeklinde bir fonksiyondur.

f fonksiyonunun görüntü kümesi,  {f(1), f(2), f(3), … , f(n), … } dir.

f(1) = a₁, f(2) = a₂, f(3) = a₃, … , f(n) = a_n, … ile gösterilirse dizi { a₁, a₂, a₃, …, a_n, … } sıralı yazılışı ile ifade edilir. Burada a₁’e dizinin ilk terimi, a₂’ye dizinin ikinci terimi…, a_n’e dizinin n. terimi yada genel terimi denir. Genel terimi a_n olan bir dizi kısaca ( a_n ) biçiminde gösterilir. Yani;

( a_n ) = ( a₁, a₂, a₃, …, a_n, … ) dir.

Örneğin;

( 2n² ) = ( 2, 8, 16, 32, 64, …, 2n², … )

( 3n ) = (3, 6, 9, 12, 15, …, 3n, … )

( 2/n ) = (2, 1, 2/3, 2/4, 2/5, …, 2/n, … )

Bir dizinin genel terimi verilmiş ise o dizi belirlidir. Dizinin birkaç teriminin verilmiş olması ile dizi belirtilmiş olmaz.

ÖRNEK:

Aşağıdakilerden hangisi bir gerçel sayı dizisinin genel terimi olamaz?

3n+1 / n+2

a)    

b)     1/5

c)      2+4+6+8+…+n

d)    

Cevap:

a şıkkını incelersek  3n+1/n+2 de n yerine 1,2, … değerlerini koyduğumuzda sonucun hep reel sayılardan oluştuğu görülmektedir. O halde a şıkkındaki terim bir gerçel sayı dizisinin genel terimi olabilir.

b şıkkını incelersek   de n yerine 1,2, … değerlerini koyduğumuzda sonucun hep reel sayılardan oluştuğu görülmektedir. O halde b şıkkındaki terim bir gerçel sayı dizisinin genel terimi olabilir.

c şıkkını incelersek c deki 1/5 ifadesi herhangi bir n değerine bağlı değildir. Yani dizinin bir tek elamanı vardır veya bütün elemanları birbirine eşittir. 1/5 ifadesi gerçel sayı olduğu için c şıkkındaki terim bir gerçel sayı dizisinin genel terimi olabilir.

d şıkkını incelersek 2+4+6+8+…+n de n yerine 1,2, … değerlerini koyduğumuzda sonucun hep reel sayılardan oluştuğu görülmektedir. O halde d şıkkındaki terim bir gerçel sayı dizisinin genel terimi olabilir.

e şıkkını incelersek  de n yerine 4 yazdığımızda sonucun  olduğu görülmektedir. Bu sayı reel (gerçel) sayı olmadığından bu terim bir reel (gerçel) sayı dizisinin genel terimi olamaz.

Yani cevabımız e şıkkı olacaktır.

ÖRNEK:

Cevap:

3. terim: 3 / 3.3-1 = 3 / 8             ( 3 tek olduğundan )

4. terim: 3.4 – 1 = 11   ( 4 çift olduğundan )

7. terim: 3 / 3.7-1 =3 / 20  (7 tek olduğundan )

ÖRNEK:

Cevap:

ÖRNEK:

( n²-8n+1 /n+2) dizisinin kaç terimi 1/2, den küçüktür?

Cevap:

n²-8n+1 / n+2 < 1/2

n²-8n+1 < n+2 / 2

2n²-16n+2 < n+2

2n² < 17n

n < 17 / 2

n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 değerlerini alabilir. Yani 8 terimi vardır.

SABİT DİZİLER

Tüm terimleri birbirine eşit olan diziye sabit dizi denir.

EŞİT DİZİLER

Her için a_n =b_n  ise ( a_n), ( b_n ) dizileri eşittir denir ve ( a_n ) = ( b_n ) ile gösterilir.

Örnek:

( a_n ) = ( n²+n / 2 ) ve ( b_n ) = ( 1+2+…+n ) dizilerinin eşit diziler olduğunu gösteriniz?

Cevap:

n=1 için          a_n = 1+1 / 2 = 1

b_n =1

n=2 için          a_n = 4+2 / 2 = 3

b_n =1+2=3

n=3 için          a_n = 9+1 / 3 = 6

b_n =1+2+3 = 6

n in bütün değerlerinde a_n = b_n olduğu görülmektedir. Yani bu iki dizi eşit dizilerdir.

SONLU DİZİLER

Olmak üzere tanım kümesi A_P olan her fonksiyona bir p terimli sonlu dizi denir.

ÖRNEK:

A₇ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } olmak üzere f : A₇ àR, f(n) = (2n+3 / 2 ) dizisinin terimlerini bulunuz.

f(1) = 2.1+3 / 2 = 5/2

f(2) = 2.2+3 / 2 = 7/2

f(3) = 2.3+3 / 2 = 9/2

f(4) = 2.4+3 / 2 = 11/2

f(5) = 2.5+3 / 2 = 13/2

f(6) = 2.6+3 / 2 = 15/2

f(7) = 2.7+3 / 2 = 17/2

olduğundan

(2n+3 / 2) = ( 5/2, 7/2, 9/2, 11/2, 13/2, 15/2, 17/2 )

olur.

UYARI:

Dizi denilince daima sonsuz dizi anlaşılmalıdır. Sonlu kelimesi kullanılmadığı zaman dizi sonsuz dizidir.

ALT DİZİ:

Her    için  ve  olmak üzere  (a_n) dizisinde n yerine  (k_n) yazılarak elde edilen  dizisine (a_n) dizisinin alt dizisi denir.

Biçiminde yazılır. Her dizi yine kendisinin bir alt dizisidir.

ÖRNEK:

(a_n) = ( 2/3n ) = ( 2/3,1/3,2/9,…. )

(a_2n) = ( 2/6n ) = ( 2/6,1/6,2/18,…. )

(a_5n) = ( 2/15n ) = ( 2/15,1/15,2/45,…. )

ÖRNEK:

(a_2n+1) = ( 5n+7 / 4n+3 ) ise (a_n) dizisini bulunuz?

Cevap:

2n+1 = k

n = k-1 / 2

( a_k ) = ( (5k-5 / 2)+7 ) / (2k-2+3)

( a_k ) =5k+9 / 4k+2

olarak bulunur. k yerine n yazarsak

( a_n ) =5n+9 / 4n+2

olur.

DİZİLERDE İŞLEMLER:

( a_n ) ve ( b_n ) birer gerçel terimli dizi ve olsun

1- k ile ( a_n) in çarpımı                :k . ( a_n ) = ( k.a_n )

2- ( a_n ) ile ( b_n ) nin toplamı       : ( a_n ) + ( b_n ) = ( a_n  +  b_n )

3- ( a_n ) ile ( b_n ) nin farkı            : ( a_n ) - ( b_n ) = ( a_n  -  b_n )

4- ( a_n ) ile ( b_n ) nin çarpımı       : ( a_n ) . ( b_n ) = ( a_n  .  b_n )

5- ise ( a_n ) dizisinin ( b_n ) dizisine bölümü: ( a_n ) / ( b_n ) = ( a_n  /  b_n )

UYARI:

Bu tanımlarda işlemlerin sonucu yine bir dizidir.

ÖRNEK:

( a_n ) = ( 5n / n+1 ) ve ( b_n ) = ( 7 / 2n+2 ) ise ( a_n ) / ( b_n ) işleminin sonucunu bulunuz?

Cevap:

( a_n ) / ( b_n ) = ( a_n  /  b_n ) = ( (5n / n+1).( 2n+2 / 7 )) =10n / 7

ÖRNEK:

( a_n ) = ( 1,2,3,4,…,n )

( b_n ) = ( 2,4,6,8,…,2n)

( a_n ) - ( b_n ) işleminin sonucunu bulunuz?

Cevap:

( a_n ) - ( b_n ) = ( a_n  -  b_n ) =(1-2, 2-4, 3-6, 4-8, …, n-2n ) = (-1,-2,…,-n)

MONOTON DİZİLER:

Herhangi bir  ( a_n ) dizisinde  için ,

Artan veya azalan dizilere kısaca monoton dizi denir. bilgiyelpazesi.com

ÖRNEK:

( n+5 / n+9 ) dizisinin monotonluk durumunu inceleyiniz?

Cevap:

a_n+1 - a_n

= ( n+1+5 / n+1+9 ) - ( n+5 / n+9 )

= n+6 / n+10  -   n+5 / n+9

=[(n+6)(n+9) – (n+5)(n+10)] / (n+10)(n+9)

=n²+15n+54-n²-15n-50  / (n+10)(n+9)

=4 / (n+10)(n+9) >0

a_n+1 - a_n > 0

a_n+1 > a_n  olduğundan monoton artandır.

NOT:

a, b, c, d reel sayılar olmak üzere genel terimleri an+b / cn+d biçiminde olan dizilerin monotonluk durumlarını incelemek için aşağıdaki yol izlenir.

1- Paydanın kökü olan –d/c>1 ise dizi ne artan ne azalandır.

2- -d/c<1 ise dizi monotondur. Ayrıca eğer ad-bc>0 ise artan, ad-bc<0 ise azalandır.

3- ad-bc=0 ise dizi sabit dizidir.

ÖRNEK:

( 7n+9 / 5n+ 1 ) dizisinin monotonluk durumunu inceleyiniz?

Cevap:

a=7

b=9

c=5

d=1

-d/c = -1/5 < 0 olduğundan dizi monotondur.

ad-bc = 7.1-9.5 = -38 < 0 olduğundan dizi monoton azalandır.

ÖRNEK:

(a_n) = ( 3n-1 / n+4 ) dizisinin 3’ün 1/5 komşuluğu dışında kaç terimi verdır?

Cevap:

3  ün 1/5 komşuluğu ;   ( 3 - 1/5 ,  3 + 1/5 ) = ( 14/5 , 16/5 )

3 ün 1/5 komşuluğu dışındaki bir terim ile 3 arasındaki farkın mutlak değerinin 1/5 den büyük yada eşit olması gerekir.

|a_n-3|  1/5 eşitsizliğini sağlayan sayma sayılarının sayısı kadar terim, bu komşuluğun dışındadır.

|a_n-3|  1/5 à|3n-1 /n+4  -  3| 1/5

|3n-1-3n-12 / n+4|  1/5

|-13 / n+4|  1/5

13 / n+4  1/5

65 n+4

n  61

sonuç olarak 61 terim 3 ün 1/5 komşuluğu dışındadır.

BİR DİZİNİN LİMİTİ:

(a_n) bir reel sayı dizisi ve  olsun. a’nın her bir komşuluğu (a_n) dizisinin sonlu sayıdaki terimi hariç geriye kalan tüm terimlerini içeriyorsa (a_n) dizisi a sayısına yakınsıyor veya (a_n) dizisinin limiti a’dır denir.

lim a_n = a    veya   ( a_n ) à a   şeklinde gösterilir.

Limiti olan diziye yakınsak dizi denir.

Limiti olmayan diziye de ıraksak dizi denir.

SONSUZA IRAKSAMA:

Bir rR için r den büyük gerçel sayılar kümesine un r komşuluğu diyor ve ( r,) ile gösteriyoruz.benzer biçimde (-, r) aralığında - un r komşuluğudur.

Bir (a_n) dizisinin sonlu sayıdaki terimleri hariç geriye kalan tüm terimleri ( r,) aralığında ise bu dizi a ıraksıyor denir ve (a_n)à  yazılır. Eğer (a_n) dizisinin sonlu sayıdaki terimleri hariç geriye kalan tüm terimleri (-, r) aralığında ise bu dizi  - a ıraksıyor denir ve (a_n)à - yazılır.

ÖRNEK:

(a_n) = (2n²+1) dizisinin terimlerini yazarak  a ıraksadığını gösteriniz?

Cevap:

(2n²+1) = (3, 9, 19, 33, 51, 73, …,  )

terimlerine dikkat edilecek olursa sürekli  arttığı görülmektedir ve  a ıraksamaktadır. Bunu lim(2n²+1) = şeklinde gösterebiliriz.

ÖRNEK:

(-n²) = (-1, -4, -8, -16, -32, -64, …, -)

lim(-n²) = -

SONSUZLA İŞLEMLER:

NOT:

Yukarıda tanımlanmamış ifadelerin hepsi tanımsızdır.

 gibi ifadeler tanımsızdır.

DİZİLERİN LİMİTLERİNE AİT ÖZELLİKLER:

1)  cR ve lim a_n = a ise lim(c.a_n) = c.a dır.

2)  lim a_n = a  ve  lim b_n = b olsun

lim (a_nb_n ) = ab

lim (a_n.b_n ) = a.b

lim (a_n/b_n ) = a/b   b_n0  ve  b0

3)  Sabit diziler yakınsaktır ve limiti sabitin kendisidir.

( c ) à c

4)  (a_n) dizisi a’ya yakınsıyor ise (a_n) dizisinin tüm alt dizileride a’ya yakınsar.  Yani;

lim a_n = a  ve ise lim=a olur.

5)  (a_n) dizisinin tüm alt dizilerinin limitleri aynı değilse (a_n) dizisi ıraksaktır.

6)   ve a_n  c_n  b_n için

lim a_n=lim b_n=a ise lim c_n=a dır.

7)  lim a_n=a olsun r>0 ise

lim r^a=r^a dır.

8)  |a|<1 ise (aⁿ)à0

a>1 ise (aⁿ)à+

a>-1 ise (aⁿ)à a_n dizisinin limiti yoktur.

9)  Her nN⁺ için a_n0  ve (a_n)à0 ise

(sin a_n  /  a_n) à1  dir.

10)   (a_n) pozitif terimli bir dizi ve lim(a_n)=a ise

lim (a_n)^1/p = a^1/p dir.

11)   lim U_n = 0 ,  lim V_n =  ve lim (U_n.V_n) = p olsun. bilgiyelpazesi.com

lim (1+U_n)^Vn = e^p dir.

ÖRNEK:

( 9n+7 /  8n-5 ) dizisinin limitini bulunuz?

Cevap:

ÖRNEK:

(a_n) = 2^{3n+2 /  n+5} dizisinin limitini bulunuz?

Cevap:

olduğuna göre dizilerde limit işlemlerinin özelliklerinden  lim  da görüldüğü gibi;

lim (a_n) = lim (2^{3n+2 /  n+5}) = 2³ = 8 dir.

ALT VE ÜST LİMİTLER:

Bir (a_n) dizisinin yakınsak alt dizilerinin limitlerinin en küçüğüne dizinin alt limiti, en büyüğüne de dizinin üst limiti denir.

(a_n) dizisinin alt limiti lim a_n ile, üst limiti ise  ile gösterilir.

 yakınsaktır.

ÖRNEK:

genel terimi ile verilen a_n dizisinin alt ve üst limitlerini bulunuz?

Cevap:

(a_n) dizisinin diğer alt dizileri ise ya ıraksak olur yada bu üç terimden birine yakınsar.

olduğundan dolayı dizi ıraksaktır.

ÖRNEK:

Cevap:

SINIRLI DİZİLER:

1)     Her  olacak şekilde bir m reel sayısı varsa, (a_n) dizisi üstten sınırlıdır denir. m sayısı bu dizinin bir üst sınırıdır. m sayısından büyük olan her gerçel sayı da dizinin bir üst sınırıdır.

2)     Her  olacak şekilde bir m reel sayısı varsa, (a_n) dizisi alttan sınırlıdır denir. m sayısı bu dizinin bir alt sınırıdır. m sayısından küçük olan her gerçel sayı da dizinin bir alt sınırıdır.

3)      Hem alttan hem üstten sınırlı dizilere kısaca sınırlı diziler denir.

  olduğundan a_n dizisinin sınırlı olması için gerek ve yeter şart  olacak şekilde bir   sayısının olmasıdır.

ÖZELLİKLERİ:

a) (a_n) dizisi artan ve yakınsak ise ;    EBAS (a_n)=a₁  ve EKÜS(a_n)=lim(a_n) dir.

b) (a_n) dizisi azalan ve yakınsak ise ;    EKÜS (a_n)=a₁  ve EBAS(a_n)=lim(a_n) dir.

ÖRNEK:

Cevap:

(a_n) dizisinin bütün terimleri [1,3) aralığında olduğu için (a_n) dizisi sınırlıdır.

EBAS(a_n)=1

EKÜS(a_n)=3 dür.

ÖRNEK:

Cevap:

(a_2n) ve (a_2n-1) dizilerinin ikiside monoton olduğundan, bu dizilerin birinci terimleri ile limitlerini bulalım.

lim(a_2n)=1 ,  a₂=5/4  ve  lim(a_2n-1)=-1 ,  a₁=-3/2

ARİTMETİK DİZİ:

Ardışık iki terimi arasındaki farkı aynı olan dizilere aritmetik dizi denir. yani,  olamak üzere her  için;

a_n+1-a_n=r

ise (a_n) bir aritmetik dizidir. r’ye dizinin ortak farkı denir.

Bir aritmetik dizinin ilk terimi a₁, ortak farkı r ise bu dizinin terimleri ;

a₂=a₁+r

a₃=a₁+2r

a₃=a₂+r

a₂=a₁+r

a_n=a₁+(n-1)r

genel terimi elde edilir.

Aritmetik Dizinin Özellikleri:

1) a_n =a₁+(n-1)r genel teriminde n yerine p ve k yazarak a_p ve a_k terimlerini bulalım:

bulunur.

2) Bir aritmetik dizinin ilk n terimini göz önüne alalım. Bu n terimden, baştan ve sondan eşit uzaklıkta olanların toplamı birbirine eşittir.

Örneğin ilk terimi 1 ve ortak farkı 4 olan bir aritmetik dizinin ilk 10 terimini yazalım:

1,5,9,13,17,21,25,29,33,37

(1+37)=(5+33)=(9+29)=(13+25)=(17+21)=38’dir.

3) Bir aritmetik dizide herhangi bir terim, bu iki terimin sağından ve solundan eşit uzaklıkta olan terimlerin aritmetik ortalaması (toplamlarının yarısı) kadardır.

Yani k<p için a_p=(a_p-k+a_p+k) / 2’dir.

Örneğin;   a₂=(a₃+a₁)/2    a₄=(a₁+a₇)/2

4) Ortak farkı r olan bir (a_n ) aritmetik dizisinin ilk n terimi toplamı

S_n = a₁+a₂+a₃+….+a_n

= a₁+(a₁+r)+(a₁+2r)+…..+(a₁+(n-1)r)

= na₁+(1+2+3+…+(n-1)r

= na₁+(n-1)nr/2 = (n/2)(2a₁+(n-1)r olur.

O halde ilk terimi a₁ , ortka farkı r olan  bir aritmetik dizinin baştan ilk n teriminin toplamı:

S_n=a₁+a₂+…+a_n

=a₁+(a₁+r)+…+(a₁+(n-1)r)

=na₁+(1+2+…+(n-1))r

=na₁ + (n-1)nr/2

=n/n[2a₁+(n-1)r]

olur. O halde ilk terimi a₁, ortak farkı r olan bir aritmetik dizinin baştan ilk n teriminin toplamı;

S_n=n[2a₁+(n-1)r]/2=n(a₁+a_n)/2

Şeklinde ifade edilebilir.

ÖRNEK:

Birinci terimi 5 ve ikinci terimi 8 olan aritmetik dizinin genel terimini bulunuz ve ilk 9 teriminin toplamını hesaplayınız?

Cevap:

a₁=5

a₂=8

r=8-5=3

a_n=a₁+(n-1)r=5+(n-1)3

dizinin genel terimi yukarıdaki gibi bulunmuş olur.

S_n=n(a₁+a_n)/2

S₉=9(5+(5+8.3))/2

S₉=9(34)/2

S₉=17.9=153

İlk 9 terimininde böylece toplamını bulmuş olduk.

ÖRNEK:

Bir aritmetik dizinin a. terimi b, b. terimi a ise 4. terimi nedir?

Cevap:

a_a=b   ve  a_b=a  ise r=( a_a-a_b)/(a-b)=(b-a)/(a-b)=-1=(a₄-b)/(4-a)

a₄-b=-4+a   ise   a₄=a-b-4    olarak bulunur.

GEOMETRİK DİZİ:

Ardışık iki terimi oranı aynı olan dizilere geometrik dizi denir. yani rR olmak üzere her nN⁺ için a_n+1/a_n=r ise (a_n) bir geometrik dizidir. r’ye dizinin ortak çarpanı denir.

Bir geometrik dizinin ilk terimi a₁, ortak çarpanı r ise bu dinin terimleri ;

a₁, a₁r, a₁r², …, a₁r^(n-1)

bir geometrik dizinin genel terimi:          

a_n= a₁r^(n-1)

a_n= a_n-pr^p

şeklinde yazılır.

GEOMETRİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ:

1) İlk terimi a₁, ortak çarpanı r olan bir geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı;

S_n=a₁+a₁r+…+a₁r^n-1

=a₁((1-rⁿ)/(1-r))

2) bir geometrik dizide herhangi bir terimin karesi bu terimin solundan ve sağından eşit uzaklıkta bulunan terimlerin çarpımına eşittir. Yani;

a_p²=a_p-k.a_k+p

3)a_n=a₁r^n-1 genel teriminde n yerine p ve k yazarak a_p ve a_k terimlerini bulalım;

elde edilir.

ÖRNEK:

İlk üç terimi sırasıyla 1, p-2, 16 olan pozitif terimli bir geometrik dizinin 5. terimi kaçtır? bilgiyelpazesi.com

Cevap:

(p-2)²=1.16

p-2=4

p=6

r=a₂/a₁=4/1=4

a_n= a₁r^(n-1)

a₅= a₁r^(5-1)=1.4⁽⁴⁾=256

ÖRNEK:

Yukarıdaki örnekteki aritmetik dizinin 5 ve 10. terimleri arasındaki terimlerinin toplamını bulunuz?

Cevap:

S_n=a₁+a₁r+…+a₁r^n-1

=a₁((1-rⁿ)/(1-r))

S₅=1.(1-4⁵)/(1-5)=1023/4

S₉=1.(1-4⁹)/(1-9)=262143/8  (arasındaki terimlerin dendiği için 9 aldık)

10. ve 5. terimleri arasında kalan terimlerin toplamı;

S₉-S₅=262143/8  -  1023/4  = (262143-2046) /8  =260097/8

Olarak bulunur.