Eğitim Öğretim İle İlgili Belgeler > Konu Anlatımlı Dersler > Matematik Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar

İLGİNÇ DİZİLER (MATEMATİK KONU ANLATIM)

Şu beş terimlik diziye bir göz atın: 2,1,2,0,0.

Birinci sayı, yani 2, dizideki 0’ların sayısıdır.

İkinci sayı, yani 1, dizideki 1’lerin sayısıdır.

Üçüncü sayı, yani 2, dizideki 2’lerin sayısıdır.

Dördüncü sayı, yani 0, dizideki 3’lerin sayısıdır.

Beşinci sayı, yani 0, dizideki 4’lerin sayısıdır.

Gerçekten ilginç bir dizi... Madem öyle, bu tür dizilere ilginç dizi diyelim. Yani ao, a1, ...,

an dizisinin terimleri,

ai = dizideki i’lerin sayısı

eşitliğini sağlıyorsa, diziye ilginç dizi diyelim.

Görüldüğü gibi, bir ilginç dizinin terimleri, oluşturdukları ilginç diziden sözediyorlar! Yani

bu dizi kendi kendinden sözediyor…

İşte bütün sonlu ilginç diziler:

(2,0,2,0)

(1,2,1,0)

(2,1,2,0,0)

(3,2,1,1,0,0,0)

(4,2,1,0,1,0,0,0)

(5,2,1,0,0,1,0,0,0)

(6,2,1,0,0,0,1,0,0,0)

(7,2,1,0,0,0,0,1,0,0,0)

.........

(10,2,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0)

.........

Bu böylece sonsuza dek sürer. Yani sonsuz tane sonlu ilginç dizi vardır.

Ve bunlardan başka sonlu ilginç dizi yoktur. Altı terimli (yani 6 uzunluğunda) ilginç dizinin olmaması ilginç dizilerin (belki de 6 sayısının) bir başka ilginç yönü.

Başka sonlu ilginç dizinin olmadığı Herb R. Bailey ve Roger G. Lautzenheiser adlı iki matematikçi tarafından kanıtlanmıştır. Bir sayfalık kanıtı bu yazıya almayacağım. Bu yazıda ilginç diziler üzerine iki olgu kanıtlamakla yetineceğim. Bu iki olgu az terimli ilginç dizilerin bulunmasına yardımcı olabilir.

Birinci Olgu. a_o, a₁,...,an bir ilginç dizi olsun. Dizide n + 1 tane sayı var. İlginç dizinin

tanımından dolayı,

a_o = dizideki 0’ların sayısı

a₁ = dizideki 1’lerin sayısı

........................

a_n = dizideki n’lerin sayısı

eşitlikleri geçerlidir. Eşitliğin solundaki ve sağındaki sayıları toplayalım. Sol tarafta buluruz elbette. Sağ taraftaki sayıları toplarsak, dizinin terim sayısını, yani n + 1, buluruz.

Birinci olguyu kanıtladık:

a_o + a₁ + ... + a_n = n + 1

İkinci Olgu. İkinci olgumuzu kanıtlamak için dizinin terimlerinin toplamını, yani

a_o + a₁ + ... + a_n sayısını başka türlü hesaplayacağız.

Önce dizideki sıfırları toplayalım!

Sıfırlar toplanınca sıfır elde edilir elbet, yani 0 x a_o elde edilir. Şimdi de birleri toplayalım. a₁ tane 1 olduğunu biliyoruz. Demek ki birlerin toplamı a₁ x 1’dir. İkileri toplayalım. a₂ tane 2 olduğunu biliyoruz, demek ki ikilerin toplamı a₂ x 2’dir...

Dizideki sıfırların toplamı = 0 x a_o

Dizideki birlerin toplamı = 1 x a₁

Dizideki ikilerin toplamı = 2 x a₂

...............

Dizideki n’lerin toplamı = n x a_n.

Demek ki dizideki sayıların toplamı, yani a_o + a₁ + ... + a_n sayısı, sağdaki sayıların toplamına, yani 0xa_o + 1xa₁ + ... + nxa_n sayısına eşit. Birinci eşitlik de gözönüne alınınca,

0xa_o + 1xa₁ + ... + nxa_n = a_o + a₁ + ... + a_n = n + 1

eşitliği bulunur.

Bu iki olgu kullanılarak uzunluğu 7 yada küçük diziler biraz hesapla kolaylıkla bulunur.