eğitim öğretim ile ilgili belgeler > konu anlatımlı dersler > matematik dersi ile ilgili konu anlatımlar

ÖZDEŞLİK, ÖZDEŞLİK ÇEŞİTLERİ, ÖZDEŞLİĞİN ÖZELLİKLERİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)

 

Tanım : Sabit olmayan, birden fazla polinom un çarpımı biçimin  de yazılamayan polinomlara  indirgenemeyen polinomlar denir. Baş katsayısı bir olan indirgenemeyen polinomlar Asal polinomlar  denir.

 

*  P(x) = x² + 4 ,  Q(x) = 3x² + 1,  R(x) = 2x – 3 ,  T(x) = - x + 7

Polinomları indirgenemeyen polinomlar dır.

 

P(x) = x² + 4  baş katsayısı 1 olduğundan  asal polinom dur.

 

 

Tanım : İçindeki değişkenlerin alabileceği her değer için doğru olan eşitliklere özdeşlik denir.

 

a) x³ (x² – 2x) = x⁵ – 2x⁴

 

b) a² (x + y)² = a² x² + a² y²   özdeşlik

 

c) a² (x +y)² = a² x² + a² y²     özdeşlik değildir.

 

 

ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLER

 

I) Tam Kare Özdeşliği:

 

a) İki Terim Toplamının Karesi :  (a + b)² = a² + 2ab + b²

 

b) İki Terim farkının Karesi       :   (a – b)² = a² – 2ab + b²

 

İki terim toplamının ve farkının karesi alınırken; birincinin karesi,birinci ile ikincinin iki katı, ikincinin karesi alınır.

 

c) Üç Terim Toplamının Karesi:

 

(a +b + c)² = a² + b² + c² + 2 (ab + ac + bc) şeklindedir.

 

 

II) İki Terim Toplamı veya Farkının Küpü :

 

a) İki Terim Toplamının Küpü :  (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

 

b) İki Terim Farkının Küpü      :  (a – b)³ = a³  – 3a²b + 3ab² – b³

 

Birinci terimin küpü;( ) birincinin karesi ile ikincinin çarpımının 3 katı, (+) birinci ile ikincinin karesinin çarpımının 3 katı,( ) ikincinin  küpü biçimindedir. Bu açılımlara Binom  Açılımıda denir

 

Not:. Paskal Üçgeni kullanılarak  4.,5.,6.,...Dereceden iki terimlilerin özdeşliklerini de yazabiliriz.

 

 

III)   İki Kare Farkı Özdeşliği:      (a + b) (a – b) = a² – b²

 

İki terim toplamı ile farkının çarpımı; birincinin karesi ile ikincinin karesinin farkına eşittir.

 

 

IV) xⁿ + yⁿ  veya xⁿ - yⁿ  biçimindeki polinomların Özdeşliği :

 

i)

a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)

a³ –  b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

 

ii)

a⁴ + b⁴ = (a + b) (a³ – a²b + ab² – b³)

a⁴ –  b⁴ = (a² + b²) (a + b) (a – b)

 

iii)

a⁵ + b⁵  = (a + b) (a⁴ – a³b + a² b² – ab³ + b⁴)

a5 – b5  = (a – b) (a4 + a3b + a2 b2 + ab3 + b4)

 

iv)

a⁶ + b⁶  = (a + b) (a⁵ – a⁴b + a³ b² – a²b³ + ab⁴ – b⁵)

a⁶ –  b⁶  = (a – b) (a² + ab + b²) (a+ b) (a² + ab + b²)

 

v)

a⁷ + b⁷  = (a + b) (a⁶ – a⁵b + a⁴b² – a³b³ + a²b⁴ – ab⁵ + b⁶)

a⁷ –  b⁷  = (a – b) (a⁶ + a⁵b + a⁴b² + a³b³ + a²b⁴ + ab⁵ + b⁶)

 

 

Özdeşlikleri aşağıdaki şekilleriyle düzenleyerek kullanabiliriz

 

1)  x² + y²  = (x + y)² – 2xy

 

2)  x² + y²  = (x – y)² + 2xy

 

3) (x – y)² = (x + y)² – 4xy

 

4) (x + y)² = (x – y)² + 4xy

 

5) x³ – y³ = (x – y)³ + 3xy (x – y)

 

6) x³ + y³ = (x + y)³ – 3xy (x + y)

 

7) x² + y² + z² = (x + y + z)² – 2 (xy + xz + yz)

 

 

1)  İki sayının toplamı 17, kareleri toplamı 145 ise; bu sayıların çarpımı kaçtır?

 

x² + y²  = (x + y)² – 2xy              2ab = 289 – 145

145 =  (17)² – 2ab                     2ab = 144         ab = 72     C= 72

 

2)   a – b = 6            (a + b)² = (a – b)² + 4ab       (a + b)² = 44

a . b = 2                          = ( 6 )²  + 4.2             (a + b) =

a + b = ?                         =  36 + 8                                = 44

 

3)   a – 2b = 3  ise;  a² + 4b² = ?    a² + 4b² = (a – 2b)² +2. a²b

a . b = 2                                                 = ( 3 )2 + 2. 2 .2  = 17

 

4)   a + b = 12  ise;  a . b = ?    (a + b)² = (a – b)² + 4ab    4 ab = 108

a – b = 6                               ( 12 )² = ( 6 )²  + 4ab           ab = 27

 

5)

m + n =8                        x³ + y³ = (x + y)³ – 3xy(x + y)

m . n = 1                         m³ + n³ = (m + n)³ – 3mn (m + n)

m³ + n³ = ?                                  = ( 8 )³ – 3 . 1 . 8 = 488

 

6)

a³ – b³ = 50                    x³ – y³ = (x – y)³ + 3xy(x – y)

a – b = 2 ise;                   a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b)

a . b = ?                          50 = 8 + 6ab   6ab = 42 ab = 7

 

7)

x³ – y³ = (x – y)³ + 3xy(x – y)

= ( 3 )³ + 3.1.( 3 ) = 36

10) ise;      x³ + y³ = (x + y)³ – 3xy(x + y)

198

 

8)

a + b + c = ?               a² + b² + c² = (a + b + c) – 2(ab + aç + bc)

ab + ac + bc = 12                          = ( 7 )² – 2 ( 12 )

a² + b² + c² = ?                              = 49 – 24 = 25

 

 

ÇARPANLARA AYIRMA KURALLARI

 

 

1) Ortak Çarpan Parantezine Alarak Çarpanlara Ayırma :

Her terimde ortak olarak bulunan çarpan, parantez dışına alınır. Her terimin ortak çarpana bölümü parantez içine yazılır.

 

1)  Aşağıdaki ifadeleri Çarpanlarına ayırınız. bilgiyelpazesi.com

 

a)  3a + 3b = 3(a + b)

 

b)  5m – 10mn = 5m (1 – 2)

 

c)  12x + 9y =3(4x + 3y)

 

d)  3a²b – 2ab² = ab (3a – 2b)

 

e)  3ax + 3ay – 3az

 

f)  (a – b) x + 3 (a – b)

 

g)  (m – n) – (a + b)(m – n)

 

h)   – a – b – x² (a + b)

 

ı)   x²(p – 3) + ma² (3 – p)

 

i)   1 – 2x + m (2x – 1)

 

 

2) Gruplandırma Yaparak Çarpanlara Ayırma :

 

Bütün terimlerde ortak çarpan yoksa, terimler ikişer, ikişer, üçer, üçer guruplandırılır. Gruplar ayrı, ayrı  ortak çarpanlarına ayrılır.

 

2)

a)  mx + ny + my + nx

 

b)  xy – xb – yb + b²

 

c)  x⁴ – 4 + 2x³ – 2x

 

d)  2x² –3x – 6xy + 9y

 

e)  x³ – x + 1 – x²

 

f)   x4 – x + x³ – 1

 

g)  ab(c² – d²) – cd (a² – b²)

 

h)  ac² + 3c – bc – 2ac – 6 + 2b

 

ı)  mn(zi + y²) + zy (m² + n²)

 

i)  a²b² + 1 – (a² + b²)

 

 

3) Tam Kare şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma :

 

Polinom üç terimli ise, ilk ve son terimin kare köklerinin çarpımı  nın iki katı ortadaki terimi  veriyorsa, bu tam kare şeklinde ifadedir

 

a² + 2ab + b² = (a + b)²,         a² – 2ab + b² = (a – b)²

 

 

3)

 

a)  x² + 4xb + 4b²

 

b)  4a² + 12ab + 9b²

 

c) 4a²b² – 4abc + c²

 

4)

 

a) a²b + 8ab +16b³

 

b) 2m³ – 28m² +98m

 

c) 4x³y – 12x²y² + 9xy³

 

 

4) İki Kare Farkı Şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma :

 

Polinom iki terimli , işaretleri farklı, kare kökleri alınıyorsa; Bu Polinom iki kare farkı biçiminde çarpanlarına ayrılır.

 

a² – b² = (a + b) (a – b)

 

5)  a) 25 – 9a²b²

 

b) x4 – 1

 

c) (m – n)² – (m + n)²

 

 

6)  a) 18x² – 2y²

 

b) 2a²b³ – 32b

 

c) 12x³y – 75xy⁵

 

 

7)

 

a) 9a² – 6a +1 – b²

 

b) x² – 12x + 36 – 4y²

 

c)16m² – n² – 6n – 9

 

d)1 – x² – 2xy – y²

 

e) m² – n² – 3m + 3n

 

f) a² – 25b² – a + 5b

 

g) a² – 4m² – 12mn – 9n²

 

h)  9a² –16m⁴ – 12axy + 4x²y²

 

 

5) İki Küp Toplamı - Farkı İfadeleri  Çarpanlara Ayırma:

 

a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²) ,  a³ –  b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

 

 

8)   a) a³ + 8

 

b) 8 – m³

 

c) x³ + 1

 

d) 27a³ – 64

 

e) x³a³ + b³

 

9)   a) 81m³ – 3n³

 

b) 24x³y – 3y

 

c) 2x + 54x⁴

 

10)  a) (x +y)³ – 8

 

b) a³ + 8(a - b)³

 

c) (m – n)3 + 1

 

 

6) xn   yn   biçimindeki polinomları Çarpanlara Ayırma:

 

 

11)

 

a)  x⁴ + 1  =  (x + 1) (x³ – x² + x – 1)

 

b)  x⁴ – 1  =  (x² + 1) (x + 1) (x – 1)

 

c)  x⁵ + 25 =  (x + 2) (x⁴ – 2x³ + 4x² – 8x + 16)

 

d)  x⁵ – 1  =  (x – 1) (x⁴ + x³ + x² + x + 1)

 

 

7) Bir Terim Ekleyip Çıkararak Çarpanlara Ayırma:

 

Verilen İfade uygun bir terim ekleme ve çıkarma yolu ile tam kare ve iki kare farkı şeklinde çarpanlara ayırma işlemine benzetilir

 

12)  4x⁴ + 7x² + 4  ifadesini Çarpanlarına ayırınız.

 

4x⁴  +  7x²  + 4  =  4x⁴ + 7x² + 4 + x² – x²               = 4x⁴ + 8x² + 4– x²

= (2x² + 2)2 – x2

2x²                                                                = (2x² + 2 – x) (2x² + 2 + x)

2.2x².2 = 8x²                                                               = (2x² – x + 2) (2x² + x + 2)

 

 

13)  x² – 6x + 5   ifadesini x’li terimin kat sayısının yarısının karesini ekleyip-çıkararak çarpanlarına ayırınız.

x² – 6x + 5 + 32 – 32 = (x² – 6x + 32) – 32 + 5    = (x – 3)2 – 4

= (x – 3 – 2) (x – 3 + 2) = (x – 5) (x – 1)

 

14)

 

a)  m² + 2m – 24

 

b)  a⁴ + a² + 1

 

c) 16a⁴ + 4a²b² + b⁴

d)  a² – 6ab + 8b² +2b – 1

 

(Not: b² yi bir ekleyip - çıkar )

 

 

8)  x2 + bx + c  şeklindeki üç terimlileri Çarpanlarına Ayırma :

 

15)

 

a) x² + 5x + 6

 

b) x² – 5x + 6

 

c) x² + 7x + 6

 

d) x² – 7x + 6

e) x² + 5x – 6

 

f) x² – 5x – 6   g) x² + x – 6

 

h) x2 – x – 6

 

ı) x² – 7x – 18

 

i) x⁴ – x² – 30

 

k) m² – 6m – 27

 

l) x² – 3xy – 10y²

 

m)  –x² – 2x + 3

 

n) x² – 13x + 30

 

o) x² + 2y²– 3xy

 

 

9) ax2 + bx + c  şeklindeki üç terimlileri Çarpanlarına Ayırma :

 

ax² + bx + c = (mx + p) (nx + q) bilgiyelpazesi.com

mx            p

nx            q     (mx.q + nx.q = bx  oluyorsa)

 

 

16)

6x² + 7x – 3   =  (3x – 1) (2x + 3)  olur.

3x          – 1       (3x . 3 – 1. 2x  =  9x – 2x  = 7x  olduğundan)

2x         + 3

 

17)

a) 3x² – 2x – 8            b) 3x² – 7x + 2       c) 2m² + 5mn – 12n²

 

d) 8a² – 2ab – b           e) 4x² + 21x + 5     f) 36a² – 33ab – 20b²

 

g) 4m² + 11m – 3        h) 6a² + 5a – 6        ı) 12a² – 8ab – 15b²

 

i)  2m² – 10m + 12        k) 3x² + 3x – 18      l)  3 n² + 30n + 48

 

18) 

a² + 2ab + b² = 3     ve   c² + 2ac + 2bc = 6   ise;  a + b + c = ?

c² + 2ac + 2bc = 6   T.T.T

a² + b² + c² + 2ab  + 2ac + 2bc = 9 (a + b + c)² = 9  Ç = {-3, 3}

 

19)

x = 4 , y = 2 ise,  x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5 = ?

a) 16    b) 32    c) 64    d) 128   e) 256

x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5 = (x – y)5 = (4 – 2)5= 32

 

20)

a + b yerine ab yazılırsa

(a . b)² – 2ab – 24 = 0 olur.

a .b  = y   diyelim.

y2 – 2y – 24 = 0     y – 6) (y + 4) = 0      y = - 4   ve   y = 6

“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR” SAYFASINA GERİ DÖNMEK İÇİN

>>>TIKLAYIN<<<

“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ TEST SORULARI, SORU BANKASI” SAYFASINI GÖRMEK İSTERSENİZ

>>>TIKLAYIN<<<

“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ YAZILI SORULARI” SAYFASINI GÖRMEK İSTERSENİZ

>>>TIKLAYIN<<<