eğitim öğretim ile ilgili belgeler > konu anlatımlı dersler > matematik dersi ile ilgili konu anlatımlar

ÖZDEŞLİK, ÖZDEŞLİK ÇEŞİTLERİ, ÖZDEŞLİĞİN ÖZELLİKLERİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)

 

Tanım : Sabit olmayan, birden fazla polinom un çarpımı biçimin  de yazılamayan polinomlara  indirgenemeyen polinomlar denir. Baş katsayısı bir olan indirgenemeyen polinomlar Asal polinomlar  denir.

 

*  P(x) = x2 + 4 ,  Q(x) = 3x2 + 1,  R(x) = 2x – 3 ,  T(x) = - x + 7

Polinomları indirgenemeyen polinomlar dır.

 

P(x) = x2 + 4  baş katsayısı 1 olduğundan  asal polinom dur.

 

 

Tanım : İçindeki değişkenlerin alabileceği her değer için doğru olan eşitliklere özdeşlik denir.

 

a) x3 (x2 – 2x) = x5 – 2x4

 

b) a2 (x + y)2 = a2 x2 + a2 y2   özdeşlik

 

c) a2 (x +y)2 = a2 x2 + a2 y2     özdeşlik değildir.

 

 

ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLER

 

I) Tam Kare Özdeşliği:

 

a) İki Terim Toplamının Karesi :  (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

 

b) İki Terim farkının Karesi       :   (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

 

İki terim toplamının ve farkının karesi alınırken; birincinin karesi,birinci ile ikincinin iki katı, ikincinin karesi alınır.

 

c) Üç Terim Toplamının Karesi:

 

(a +b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc) şeklindedir.

 

 

II) İki Terim Toplamı veya Farkının Küpü :

 

a) İki Terim Toplamının Küpü :  (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

 

b) İki Terim Farkının Küpü      :  (a – b)3 = a3  – 3a2b + 3ab2 – b3

 

Birinci terimin küpü;( ) birincinin karesi ile ikincinin çarpımının 3 katı, (+) birinci ile ikincinin karesinin çarpımının 3 katı,( ) ikincinin  küpü biçimindedir. Bu açılımlara Binom  Açılımıda denir

 

Not:. Paskal Üçgeni kullanılarak  4.,5.,6.,...Dereceden iki terimlilerin özdeşliklerini de yazabiliriz.

 

 

III)   İki Kare Farkı Özdeşliği:      (a + b) (a – b) = a2 – b2

 

İki terim toplamı ile farkının çarpımı; birincinin karesi ile ikincinin karesinin farkına eşittir.

 

 

IV) xn + yn  veya xn - yn  biçimindeki polinomların Özdeşliği :

 

i)

a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

a3 –  b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

 

ii)

a4 + b4 = (a + b) (a3 – a2b + ab2 – b3)

a4 –  b4 = (a2 + b2) (a + b) (a – b)

 

iii)

a5 + b5  = (a + b) (a4 – a3b + a2 b2 – ab3 + b4)

a5 – b5  = (a – b) (a4 + a3b + a2 b2 + ab3 + b4)

 

iv)

a6 + b6  = (a + b) (a5 – a4b + a3 b2 – a2b3 + ab4 – b5)

a6 –  b6  = (a – b) (a2 + ab + b2) (a+ b) (a2 + ab + b2)

 

v)

a7 + b7  = (a + b) (a6 – a5b + a4b2 – a3b3 + a2b4 – ab5 + b6)

a7 –  b7  = (a – b) (a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6)

 

 

Özdeşlikleri aşağıdaki şekilleriyle düzenleyerek kullanabiliriz

 

1)  x2 + y2  = (x + y)2 – 2xy

 

2)  x2 + y2  = (x – y)2 + 2xy

 

3) (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy

 

4) (x + y)2 = (x – y)2 + 4xy

 

5) x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy (x – y)

 

6) x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy (x + y)

 

7) x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2 (xy + xz + yz)

 

 

1)  İki sayının toplamı 17, kareleri toplamı 145 ise; bu sayıların çarpımı kaçtır?

 

x2 + y2  = (x + y)2 – 2xy              2ab = 289 – 145

145 =  (17)2 – 2ab                     2ab = 144         ab = 72     C= 72

 

2)   a – b = 6            (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab       (a + b)2 = 44

a . b = 2                          = ( 6 )2  + 4.2             (a + b) =

a + b = ?                         =  36 + 8                                = 44

 

3)   a – 2b = 3  ise;  a2 + 4b2 = ?    a2 + 4b2 = (a – 2b)2 +2. a2b

a . b = 2                                                 = ( 3 )2 + 2. 2 .2  = 17

 

4)   a + b = 12  ise;  a . b = ?    (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab    4 ab = 108

a – b = 6                               ( 12 )2 = ( 6 )2  + 4ab           ab = 27

 

5)

m + n =8                        x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y)

m . n = 1                         m3 + n3 = (m + n)3 – 3mn (m + n)

m3 + n3 = ?                                  = ( 8 )3 – 3 . 1 . 8 = 488

 

6)

a3 – b3 = 50                    x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy(x – y)

a – b = 2 ise;                   a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

a . b = ?                          50 = 8 + 6ab   6ab = 42 ab = 7

 

7)

x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy(x – y)

= ( 3 )3 + 3.1.( 3 ) = 36

10) ise;      x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y)

198

 

8)

a + b + c = ?               a2 + b2 + c2 = (a + b + c) – 2(ab + aç + bc)

ab + ac + bc = 12                          = ( 7 )2 – 2 ( 12 )

a2 + b2 + c2 = ?                              = 49 – 24 = 25

 

 

ÇARPANLARA AYIRMA KURALLARI

 

 

1) Ortak Çarpan Parantezine Alarak Çarpanlara Ayırma :

Her terimde ortak olarak bulunan çarpan, parantez dışına alınır. Her terimin ortak çarpana bölümü parantez içine yazılır.

 

1)  Aşağıdaki ifadeleri Çarpanlarına ayırınız. bilgiyelpazesi.com

 

a)  3a + 3b = 3(a + b)

 

b)  5m – 10mn = 5m (1 – 2)

 

c)  12x + 9y =3(4x + 3y)

 

d)  3a2b – 2ab2 = ab (3a – 2b)

 

e)  3ax + 3ay – 3az

 

f)  (a – b) x + 3 (a – b)

 

g)  (m – n) – (a + b)(m – n)

 

h)   – a – b – x2 (a + b)

 

ı)   x2(p – 3) + ma2 (3 – p)

 

i)   1 – 2x + m (2x – 1)

 

 

2) Gruplandırma Yaparak Çarpanlara Ayırma :

 

Bütün terimlerde ortak çarpan yoksa, terimler ikişer, ikişer, üçer, üçer guruplandırılır. Gruplar ayrı, ayrı  ortak çarpanlarına ayrılır.

 

2)

a)  mx + ny + my + nx

 

b)  xy – xb – yb + b2

 

c)  x4 – 4 + 2x3 – 2x

 

d)  2x2 –3x – 6xy + 9y

 

e)  x3 – x + 1 – x2

 

f)   x4 – x + x3 – 1

 

g)  ab(c2 – d2) – cd (a2 – b2)

 

h)  ac2 + 3c – bc – 2ac – 6 + 2b

 

ı)  mn(zi + y2) + zy (m2 + n2)

 

i)  a2b2 + 1 – (a2 + b2)

 

 

3) Tam Kare şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma :

 

Polinom üç terimli ise, ilk ve son terimin kare köklerinin çarpımı  nın iki katı ortadaki terimi  veriyorsa, bu tam kare şeklinde ifadedir

 

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2,         a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

 

 

3)

 

a)  x2 + 4xb + 4b2

 

b)  4a2 + 12ab + 9b2

 

c) 4a2b2 – 4abc + c2

 

4)

 

a) a2b + 8ab +16b3

 

b) 2m3 – 28m2 +98m

 

c) 4x3y – 12x2y2 + 9xy3

 

 

4) İki Kare Farkı Şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma :

 

Polinom iki terimli , işaretleri farklı, kare kökleri alınıyorsa; Bu Polinom iki kare farkı biçiminde çarpanlarına ayrılır.

 

a2 – b2 = (a + b) (a – b)

 

5)  a) 25 – 9a2b2

 

b) x4 – 1

 

c) (m – n)2 – (m + n)2

 

 

6)  a) 18x2 – 2y2

 

b) 2a2b3 – 32b

 

c) 12x3y – 75xy5

 

 

7)

 

a) 9a2 – 6a +1 – b2

 

b) x2 – 12x + 36 – 4y2

 

c)16m2 – n2 – 6n – 9

 

d)1 – x2 – 2xy – y2

 

e) m2 – n2 – 3m + 3n

 

f) a2 – 25b2 – a + 5b

 

g) a2 – 4m2 – 12mn – 9n2

 

h)  9a2 –16m4 – 12axy + 4x2y2

 

 

5) İki Küp Toplamı - Farkı İfadeleri  Çarpanlara Ayırma:

 

a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) ,  a3 –  b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

 

 

8)   a) a3 + 8

 

b) 8 – m3

 

c) x3 + 1

 

d) 27a3 – 64

 

e) x3a3 + b3

 

9)   a) 81m3 – 3n3

 

b) 24x3y – 3y

 

c) 2x + 54x4

 

10)  a) (x +y)3 – 8

 

b) a3 + 8(a - b)3

 

c) (m – n)3 + 1

 

 

6) xn   yn   biçimindeki polinomları Çarpanlara Ayırma:

 

 

11)

 

a)  x4 + 1  =  (x + 1) (x3 – x2 + x – 1)

 

b)  x4 – 1  =  (x2 + 1) (x + 1) (x – 1)

 

c)  x5 + 25 =  (x + 2) (x4 – 2x3 + 4x2 – 8x + 16)

 

d)  x5 – 1  =  (x – 1) (x4 + x3 + x2 + x + 1)

 

 

7) Bir Terim Ekleyip Çıkararak Çarpanlara Ayırma:

 

Verilen İfade uygun bir terim ekleme ve çıkarma yolu ile tam kare ve iki kare farkı şeklinde çarpanlara ayırma işlemine benzetilir

 

12)  4x4 + 7x2 + 4  ifadesini Çarpanlarına ayırınız.

 

4x4  +  7x2  + 4  =  4x4 + 7x2 + 4 + x2 – x2               = 4x4 + 8x2 + 4– x2

= (2x2 + 2)2 – x2

2x2                                                                = (2x2 + 2 – x) (2x2 + 2 + x)

2.2x2.2 = 8x2                                                               = (2x2 – x + 2) (2x2 + x + 2)

 

 

13)  x2 – 6x + 5   ifadesini x’li terimin kat sayısının yarısının karesini ekleyip-çıkararak çarpanlarına ayırınız.

x2 – 6x + 5 + 32 – 32 = (x2 – 6x + 32) – 32 + 5    = (x – 3)2 – 4

= (x – 3 – 2) (x – 3 + 2) = (x – 5) (x – 1)

 

14)

 

a)  m2 + 2m – 24

 

b)  a4 + a2 + 1

 

c) 16a4 + 4a2b2 + b4

d)  a2 – 6ab + 8b2 +2b – 1

 

(Not: b2 yi bir ekleyip - çıkar )

 

 

8)  x2 + bx + c  şeklindeki üç terimlileri Çarpanlarına Ayırma :

 

15)

 

a) x2 + 5x + 6

 

b) x2 – 5x + 6

 

c) x2 + 7x + 6

 

d) x2 – 7x + 6

e) x2 + 5x – 6

 

f) x2 – 5x – 6   g) x2 + x – 6

 

h) x2 – x – 6

 

ı) x2 – 7x – 18

 

i) x4 – x2 – 30

 

k) m2 – 6m – 27

 

l) x2 – 3xy – 10y2

 

m)  –x2 – 2x + 3

 

n) x2 – 13x + 30

 

o) x2 + 2y2– 3xy

 

 

9) ax2 + bx + c  şeklindeki üç terimlileri Çarpanlarına Ayırma :

 

ax2 + bx + c = (mx + p) (nx + q) bilgiyelpazesi.com

mx            p

nx            q     (mx.q + nx.q = bx  oluyorsa)

 

 

16)

6x2 + 7x – 3   =  (3x – 1) (2x + 3)  olur.

3x          – 1       (3x . 3 – 1. 2x  =  9x – 2x  = 7x  olduğundan)

2x         + 3

 

17)

a) 3x2 – 2x – 8            b) 3x2 – 7x + 2       c) 2m2 + 5mn – 12n2

 

d) 8a2 – 2ab – b           e) 4x2 + 21x + 5     f) 36a2 – 33ab – 20b2

 

g) 4m2 + 11m – 3        h) 6a2 + 5a – 6        ı) 12a2 – 8ab – 15b2

 

i)  2m2 – 10m + 12        k) 3x2 + 3x – 18      l)  3 n2 + 30n + 48

 

18) 

a2 + 2ab + b2 = 3     ve   c2 + 2ac + 2bc = 6   ise;  a + b + c = ?

c2 + 2ac + 2bc = 6   T.T.T

a2 + b2 + c2 + 2ab  + 2ac + 2bc = 9 (a + b + c)2 = 9  Ç = {-3, 3}

 

19)

x = 4 , y = 2 ise,  x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5 = ?

a) 16    b) 32    c) 64    d) 128   e) 256

x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5 = (x – y)5 = (4 – 2)5= 32

 

20)

a + b yerine ab yazılırsa

(a . b)2 – 2ab – 24 = 0 olur.

a .b  = y   diyelim.

y2 – 2y – 24 = 0     y – 6) (y + 4) = 0      y = - 4   ve   y = 6

MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR” SAYFASINA GERİ DÖNMEK İÇİN

>>>TIKLAYIN<<<


MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ TEST SORULARI, SORU BANKASI” SAYFASINI GÖRMEK İSTERSENİZ

>>>TIKLAYIN<<<


MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ YAZILI SORULARI” SAYFASINI GÖRMEK İSTERSENİZ

>>>TIKLAYIN<<<

Yorumlar

.......

14. **Yorum**
->Yorumu: Uff sıkılıyodum matematik iyi geliyo
->Yazan: Asu

13. **Yorum**
->Yorumu: Teşekkürler çok yardımcı oldu bu arada yorumlarda ki esra yemin etsene
->Yazan: ipek

12. **Yorum**
->Yorumu: İyiki bu siteyi açtınız teşekkür ederim
->Yazan: Baran


11. **Yorum**
->Yorumu: Sagolun projemi burdan yaptım herkese tskkürler
->Yazan: berna

10. **Yorum**
->Yorumu: konular çok ayrıntılı ve çok bunun için teşekkürler
->Yazan: rıdvan

9. **Yorum**
->Yorumu: projemi burdan yaptm çok güzel ve ayrıntılı anlatılmış 
->Yazan: sümeyye


8. **Yorum**
->Yorumu: 8. SINIF İÇİN GİRDİM BU ÖRNEKLERDE KÜP VAR AMA GÜZELL
->Yazan: ALEYNA.

7. **Yorum**
->Yorumu: harika bir site bulamayanlar üzülsün :D
->Yazan: erdem.

6. **Yorum**
->Yorumu: yardımınız için çoook teşekkür ederim siz olmasaydınız ne yapacağımı bilmiyordum:)
->Yazan: fatma.

->Yazan   : elif
->Yorumu: ii di özdeşlik konusu çok ii anlatılmış size çok teşekkür ederim saolun varolun.

->Yazan   : sümeyye yakış
->Yorumu: performansımın BİR BÖLÜMÜNÜ buradan yapıyorum çok saolun TŞK.

->Yazan : alpay
->Yorumu: cok sagolun cok güzel bir site burasi.

->Yazan : eses
->Yorumu: prformans ödevim için çok ise tesekkür ederim =).

>Yazan: esra
>Yorum: çok yardiminiz ddokundu saolun 100 aldim size yemin edebilirim:):) .

>>>YORUM YAZ<<<

Adınız:
Yorumunuz: