Eğitim Öğretim İle İlgili Belgeler > Konu Anlatımlı Dersler > Matematik Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar

PARABOL, ÖZELLİKLERİ, HESAPLAMALARI, DENKLEMLERİ, ÇÖZÜMLERİ, ÇEŞİTLERİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIM (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER, SORULAR)

İkinci dereceden fonksiyonların grafiklerine parabol denir.

Nedir, neye benzer acaba? Bu amaçla, en sade ikinci dereceden denklem olan y = x²’nin grafiğini bir çizelim. Grafiği çizebilmek için üzerinde birkaç nokta bilmemiz gerekiyor.

Analitik geometri ve fonksiyon dersinden de biliyoruz ki, bir eğri bir noktadan geçiyorsa, o nokta eğrinin denklemini sağlıyordur. Tersi de mümkündü, bir nokta bir eğri denklemini sağlıyorsa, o nokta o eğrinin grafiği üzerindedir. Bu sebeple, y = x² eşitliğini sağlayan birkaç tane (x, y) noktası yazıp, bunları koordinat düzleminde işaretleyerek grafiği oluşturmaya çalışacağız.

Yukarıda gördüğünüz üzere, (0, 0), (1, 1), (–1, 1), (2, 4), (–2, 4), (3, 9) ve (–3, 9) noktaları işaretlendiğinde, az çok neye benzediği anlaşılıyor.

Ben daha kolay hayal edebilin diye koordinatlarını yukarda yazmadığım birkaç noktayı daha işaretledim.

Simdi bu sekli mümkün olduğunca ayrıntısıyla irdeleyeceğiz.

Bazı sorulara cevaplar arayacağız.

Örneğin:

Parabol acaba her zaman böyle çukur seklinde midir? Ters dönmüş hali, yani tümsek halini alabilir mi? Sola veya sağa yatık olabilir mi?

Dikkat ederseniz y ekseni parabolün simetri ekseni konumunda, parabol her zaman böyle simetrik midir? x eksenine her zaman teğet midir, kesebilir mi? Keserse, ne zaman keser, kesmezse ne zaman kesmez? y eksenini kestiği yer özel mi? Daha daha birçok soruya cevap arayacağız, ne mutlu ki hiçbiri cevapsız kalmayacak…

Başlıyoruz:

Parabolün X Eksenini Kestiği Noktalar:

Eğer varsa o noktaya A diyelim. A noktası x ekseni üzerinde olduğundan koordinatları (x₁, 0) seklinde olur.

Nokta parabolün üstünde olduğundan denklemini sağlıyor olmalı, yani x yerine x₁ yazdığımızda y = 0 olmalı. O halde bu x₁, düpedüz denklemin kökü!

Anlaşılan o ki; bir parabol x eksenini köklerinde kesiyor. Eğer iki farklı reel kökü varsa iki farklı yerde, tek reel kökü varsa tek yerde kesiyor.

Hiç reel kökü yoksa da hiçbir yerde kesmiyor. Peki, bir denklemin reel kökünün olup olmadığını nerden anlıyorduk?

Diskriminantından…

y = ax² + bx + c parabolü;

 > 0 ise x eksenini iki farklı noktada keser (üst şekildeki h parabolü böyledir),

 = 0 ise x eksenini tek noktada keser, yani x eksenine teğettir (üst şekildeki g parabolü böyledir),

 < 0 ise x eksenini kesmez (üst sakildeki f parabolü böyledir).

Örnek:

y = 2x² + ax + 2 parabolü x eksenine teğetse  a kaçtır?

Çözüm:

Bir parabol x eksenine teğetse, denklemi bir tamkaredir, yani diskriminantı 0’dır.

 = a² – 422 = 0 diye a² = 16. Dolayısıyla a = ± 4 olarak bulunur.

Örnek:

f(x) = x² – 4x + m – 1 parabolünün grafiği yukarıda verilmiştir.

|AB| = 3 olduğuna göre m kaçtır?

Çözüm:

|AB| = 3 bilgisinden kökün birinin diğerinden 3 fazla olduğunu yani kökler farkının 3 olduğunu anlıyoruz.

Kökler toplamı formülünden de kökler toplamı 4 bulunduğundan

Simdi de kökler çarpımı formülünden yardım isteyeceğiz.

Örnek:

y = x² + (1 – m)x + 2n

y = 3x² – (2m + 1)x + 4n + 2

Parabollerinin x eksenini kestiği noktalar aynı ise m.n çarpımı kaçtır?

Çözüm:

Bir parabolün x eksenini kestiği noktalarının aslında kökleri olduğunu defalarca söyledik.

O halde soruda bu (bilgi yelpazesi.net) iki parabolün de köklerinin aynı olduğu anlatılmak isteniyor. Kökler toplamında giderek m’yi, kökler çarpımından giderek de n’yi bulacağız.

Örnek:

y = m²x² + mx – m parabolü x eksenini iki farklı noktada kesiyorsa m hangi aralıktadır?

Çözüm:

Parabolün Y Eksenini Kestiği Nokta:

Eğer varsa o noktaya C diyelim. C noktası, y ekseni üzerinde olduğundan koordinatları (0, y1) seklindedir.

Yine denklemi sağlaması gerektiğinden denklemde x gördüğümüz yerlere 0 yazdığımızda

y = y₁ olmalıdır.

Buradan anlaşılan;

y = a.0² + b0 + c = y₁

parabol y eksenini, denkleminin sabit terimi olan c noktasında kesiyor.

Örnek:

y = x² + 6x + m – 2 parabolünün x eksenini kesmediği biliniyorsa, m’nin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır?

Çözüm:

 = 6² – 4.1.(m – 2) < 0 olmalıdır.

O halde m > 11 eşitsizliğinden m’nin alabileceği en küçük tamsayı değeri 12’dir.

Parabolün Kollarının Yönü:

Parabolün kollarının çok çok büyük sayılarda hangi yöne doğru gittiğini merak ediyoruz. Analitik düzleme göre düşünürsek, yukarı mı, aşağı mı, sola mı, sağa mı?

O halde x değerine çok çok büyük sayılar verdiğimizde, y’nin alacağı değerleri bulmalıyız.

Peki, y’nin alacağı değerleri, daha çok x²’li terim mi etkiler, x’li terim mi, sabit terim mi? Sabit terim, adı üstünde hep sabit, y’ye etkisi de hep sabittir.

x² sayısının da, x sayısından kat be kat hızlı arttığını hepimiz biliriz.

O halde bizim için x²’li terim önemli olmalı. Ama x²’li terimin olmadığı parabol yok ki, yani anlatmak istediğimiz x²’nin katsayısı önemli olmalı.

Eğer x²’nin katsayısı olan a > 0 ise, çok çok büyük x’ler için ax² de çok çok büyük olur, bx + c ifadesindeki b ve c negatif olsa dahi ax²’yi negatif yapmaya güçleri yetmez, y durmadan büyür, o halde kollar yukarı doğru olur. Ama a < 0 ise ax² terimi daima negatif olur, çok çok büyük x’ler için bx + c sayısı ax² sayısını negatif olmaktan kurtaramaz, o halde a < 0 durumunda parabolün kolları aşağı doğru olur.

Parabolün kolları sağa veya sola doğru olabilir mi?

Evet olabilir, f(y) = x = ay² + by + c seklindeki ikinci dereceden fonksiyonların grafikleri o şekildedir ama mutlu haber, onlar bizim konumuz değil.

Örnek:

y = ax² + 6x + 9a parabolü x eksenine teğet olup, parabolün kollar aşağı doğrudur. Buna göre a kaçtır?

Çözüm:

 = 6² – 4.a.9a = 0 eşitliğinden a² = 1 bulunur.

Parabolün kolları aşağı doğru olduğundan baskatsayı olan a negatif olmalıdır, o halde a = –1.

Tepe Noktası Ve Simetri Ekseni:

Burada isleyeceğimiz parabol çeşitleri demin bahsettiğimiz üzere hep çukur veya tümsek seklinde olanlar olacak.

Çukur seklindeki parabollerin azalmaktan artmaya geçtiği noktaya, tümsek seklindeki parabollerin de artmaktan azalmaya geçtiği noktaya parabolün tepe noktası denir.

Her parabolün bir tepe noktası mutlaka vardır.

Çukur parabollerde fonksiyonun minimum değeri, tümsek parabollerde de fonksiyonunun maksimum noktası tepe noktasıdır.

Tepe noktasından geçip, y eksenine paralel olan doğruya parabolün simetri ekseni denir.

Simetri ekseninin varlığını, mutlak değeri aynı olan negatif ve pozitif sayıların karelerinin eşit olmasına borçluyuz. y = x² parabolündeki 12 = (–1)² = 1, 2² = (–2)² = 4, 3² = (–3)² = 9 olduğunu hatırlayınız. Bundan dolayı çukur veya tümsek seklindeki her parabol, y eksenine paralel olan bir doğruya göre simetriktir.

Örnek:

Yukarıda grafiği verilen f parabolü x eksenini −2 ve 8 apsisli noktalarda, y eksenini de −3 ordinatlı noktada kestiğine göre f(6) kaçtır?

Çözüm:

Dedik ya parabol simetrik bir şekildir. İste ondan dolayı, yukarıdaki kökten sağa 2 birim gittiğimizde y değeri 3 azalıyorsa, sağdaki kökten sola doğru 2 birim ilerlediğimizde de y değeri 3 azalır.

Diğer bir deyişle, şekildeki taralı bölgeler estir, o halde f(6) = −3.

Örnek:

f(x) = 2x² – 3x + k parabolünün grafiği yukarıda verilmiştir.

Tepe noktası T ve kökleri A ve B iken |OA|.|OB| = 1 ise k kaçtır?

Çözüm:

A(x₁, 0) ve B(x₂ , 0) olsun.

x₁ < 0 olduğundan |x₁| = –x₁ ve x₂ > 0 olduğundan |x₂| = x₂ olur. |x₁|.|x₂| = –x₁x₂ = 1 olarak verilmiş.

Kökler çarpımı formülünden

Bulunur ki k = –2’dir.

Parabol Denkleminin Yazılması:

Bir doğru kaç noktasıyla belliydi?

İki, değil mi? Çünkü tek bir noktadan geçen istediğimiz kadar çok doğru çizebilecekken, farklı iki noktadan geçen tek bir doğru çizebiliriz.

Bunu doğrunun genel denklemi olan y = ax + b denkleminden de anlayabiliriz.

Denklemde bulunması gereken iki bilinmeyen var: a ve b.

İki farklı noktanın koordinatlarını, sağlaması gerektiğinden denklemde yerlerine yazan biri, a ve b’yi bulduğunda, iki bilinmeyenli iki denklemi çözerek, doğrunun denklemini yazabiliyordu.

İste bunun gibi, y = ax² + bx + c denkleminde de a, b ve c bilinmeyenleri bulup, üç bilinmeyenli üç denklemi çözenler, parabol (bilgi yelpazesi.net) denklemini yazabilecek.

Nasıl mı olacak? Bir örnekle anlatalım:

Örnek:

A(–1, 3), B(1, 3) ve C(0, 4) noktalarından geçen parabolün denklemini yazınız.

Çözüm:

Parabolün denklemi y = ax² + bx + c olsun Mademki parabol bu noktalardan geçiyor, o halde bu koordinatlar parabol denklemini sağlıyordur.

olur.

Son eşitlikten bulduğumuz c = 4 eşitliğini ilk iki denklemde yerlerine yazıp, iki bilinmeyenli iki denklemi çözeceğiz:

a – b + 4 = 3

a + b + 4 = 3

çıkar ki, buradan da a = –1 ve b = 0 buluruz.

Üç bilinmeyen de artık bilindiğinden geriye sadece denklemde yerlerine yazmak kaldı:

y = ax² + bx + c = (–1)x² + 0x + 4 = –x² + 4.

Örnek:

A(–2, 1), B(1, 3) ve C(2, 2) noktalarından geçen parabolün denklemini yazınız.

Çözüm:

olur. Birinci ve üçüncü eşitlikleri taraf tarafa çıkarırsak,

buluruz.

Bunu son iki denklemde yerlerine yazıp, iki bilinmeyenli iki denklemi çözeceğiz:

çıkar ki, buradan da

buluruz.

Üç bilinmeyen de artık bilindiğinden geriye sadece denklemde yerlerine yazmak kaldı:

Örnek:

p’nin alabileceği her reel sayı değeri için A(2p – 1, 8p² + 6) noktalarının analitik düzlemde çizdiği eğrinin denklemini yazınız.

Çözüm:

Eğrinin geçtiği noktalar (x, y) olsun.

x = 2p – 1,

y = 8p² + 6

olur. p’leri çekip eşitleyeceğiz.

Kökleri Ve Geçtiği Herhangi Bir Noktası Verilen Parabolün Denkleminin Yazılması:

Kökleri x₁ ve x₂ olarak verilmiş ikinci dereceden denklem için sunu demiştik: (x – x₁) ve (x – x₂) ile tam bölünür.

Zaten denklem ikinci dereceden olduğundan baksa x’li çarpana da gerek yok. Ama bu çarpanların basında katsayı olarak herhangi bir sayı da bulunabilir.

Öyle ya, x ekseni üzerinde iki farklı nokta düşünün, o noktalardan geçen kolları aşağıya veya yukarıya bakan binlerce parabol olabilir.

Simdi bize bir de y = a.(x – x₁).(x – x₂) denkleminin bas katsayısı olan a lazım. İste onu da, üçüncü nokta olarak verilen, geçtiği herhangi bir nokta koordinatını kullanarak bulacağız.

Buna da bir örnek geliyor:

Örnek:

Kökleri –3 ve 1 olan ikinci dereceden bir denklemin grafiği A(2, 5) noktasından geçmektedir. Bu denklemi yazınız.

Çözüm:

Derhal kökleri −3 ve 1 olan tüm ikinci dereceden denklemleri yazalım:

y = a.(x – x₁).(x – x₂)

y = a.(x + 3).(x – 1)

Bu denklemi (2, 5) de sağlaması gerekiyor.

O halde 5 = a.(2 + 3)(2 – 1) olduğundan a = 1’dir.

Parabol denklemi bulundu bile:

y = (x + 3).(x – 1) = x² + 2x – 3.

Örnek:

x eksenini –1 apsisli,

y eksenini –2 ordinatlı

noktada kesen yukarıdaki parabolün, tepe noktasının apsisi 2 ise bu parabolün denklemini yazınız.

Çözüm:

Tepe noktası simetri ekseni üzerinde bulunduğundan |AC| =|CB|’dir. O halde verilmemiş kök olan B noktasının apsisi 5’dir.

Su durumda parabolün iki kökü ve geçtiği bir noktası bellidir.

y = a.(x + 1).(x – 5)

G(0, –2) noktası da parabol üstünde olduğundan sağlaması gerekir.

–2 = a.(0 + 1).(0 – 5)

olduğundan

Bize lazım olan her şey bulunduğundan parabol denklemini yazabiliriz:

Örnek:

Tepe noktası T(2, 5) olan yukarıdaki parabol x eksenini A ve C noktalarında, y eksenini de B noktasında kesmektedir. C(5, 0) ise ABC üçgeninin alanı kaç br²dir?

Çözüm:

Tepe noktasının simetri ekseni üzerinde bulunduğunu, dolayısıyla r = 2 olduğundan A(−1, 0) olduğunu unutmayın.

Su an üçgenin taban uzunluğu belli olduğundan yüksekliği yani B noktasının ordinatını bulursak, soru çözülmüş olacak. Ki orası da parabolün sabit terimidir.

İki kök de belli olduğundan

y = a.(x + 1).(x – 5)

Parabol T(2, 5)’ten geçtiğinden koordinatları eşitlikte yerine koyacağız ve sağlayacak:

5 = a.(2 + 1).(2 – 5)

olur ki

bulunur.

Simdi parabolün denklemini yazabiliriz:

Tepe Noktası Ve Geçtiği Herhangi Bir Noktası Verilen Parabolün Denkleminin Yazılması:

Neden bilmiyorum ve bir mana da veremiyorum ama tepe noktası koordinatları tüm kaynaklarda (r, k) olarak gösteriliyor. Biz de sürüye katılacağız.

Tepe noktası T(r, k) olarak verilen parabollerin genel denklemi y = a.(x – r)² + k seklindedir. r ve k zaten bize verilecek, verilen geçtiği herhangi bir nokta koordinatı yardımıyla da a’yı bulacağız. İşlem tamam olacak.

Örnek:

Tepe noktası T(1, 2) olup, G(3, –5)’ten geçen parabolün denklemini yazınız.

Çözüm:

r = 1 ve k = 2 olduğundan, y = a.(x – r)² + k = a(x – 1)² + 2 olur.

G(3, –5) noktası parabol üstünde olduğundan hemen görevimizi yapalım:

–5 = a(3 – 1)² + 2 olur ki

bulunur.

Düzenlenirse;

Örnek:

Yukarıda grafiği verilen parabolün tepe noktası T(1, 4) olup, parabol

G(5, –2) noktasından geçmektedir.

Buna göre f(8) kaçtır?

Çözüm:

Parabolün denklemi olan y = f(x) fonksiyonunu bulup, x yerine 8 yazacağız.

r = 1 ve k = 4 olduğundan, y = a(x – r)² + k = a(x– 1)² + 4 olur.

G(5, –2) noktası parabol üstünde olduğundan denklemi sağlar:

–2 = a.(5 – 1)² + 4

olur ki

bulunur.

Düzenlenirse;

bulunur, dolayısıyla

Örnek:

(2,0) ve (0, 3) ortak noktalarına sahip f parabolü ile g doğrusunun grafikleri yukarıda verilmiştir.

Taralı bölgeye karşılık gelen eşitsizlik sistemini yazınız.

Çözüm:

Tepe noktası ve geçtiği bir noktası bilindiğinden parabol denklemini

Olarak buluruz.

Geçtiği iki noktası bilinen doğru denkleminin formülünden de doğrunun denklemi

olarak bulunur.

Taralı bölge parabolün üstü ile doğrunun alt bölgesinin kesişimi olduğundan eşitsizlik sistemi söyle olmalıdır:

Denklemi Verilen Parabolün Tepe Noktasının Koordinatlarının Bulunması:

y = ax² + bx + c

denklemini y = a(x – r)² + k haline getirerek r ve k’nın formüllerini çıkarmış olacağız.

Görüldüğü üzere r’nin formülü sık ama k’nın formülü gıcık. Buna hemen bir formül bulmalıyız:

T(r, k) noktası parabolün üzerinde olduğundan parabol denklemini sağlaması gerekir. O halde x yerine r yazdığımızda çıkacak y değeri k olmalıdır.

Buradan anlaşılması gereken sudur: k’yı bulmak isteyen bir vatandaş, fonksiyonda x gördüğü yere r’yi yazarak da k’yı bulabilir.

Unutmayın ki, k değeri fonksiyonun alabileceği minimum ya da maksimum değeri verir, r değeri ise o minimum ya da maksimum değerini hangi x değeri için aldığını verir.

Örnek:

y = x² + 4x + 8 parabolünün tepe noktasının orijine olan uzaklığını bulunuz.

Çözüm 1: Önce bir koordinatlarını bulalım, orijine olan uzaklı kolay.

Çözüm 2: Tavsiyemiz bu yoldur, verilen ikinci dereceden denklemi derhal tam kare haline getirin, gerisi sırıtacak zaten.

Ne kadar da y = a(x – r)² + k formülüne benziyor değil mi?

Aslında ta kendisi, o halde r = –2 ve k = 4.

Örnek:

y = –x² + 6x – 2 parabolünün tepe noktasının koordinatlarını bulunuz.

Çözüm 1:

Çözüm 2:

y = –x² + 6x – 2 = –x² + 6x – 9 + 7 = –(x – 3)² + 7 olduğundan T(r, k) = T(3, 7).

Örnek:

f(x) = ax² + bx + c parabolünün tepe noktası T(r, k) olup, diskriminantı

dır. a, b, c, r, k,  değerlerinden en çok kaç tanesi aynı anda negatif olabilir?

Çözüm:

Eğer f(x)’in, yukarıda görüldüğü üzere, tepe noktası analitik düzlemin III. bölgesinde ve kolları aşağı doğruysa, bahsi geçen altı değer de aynı anda negatif olabilir.

Kollar aşağı doğru olduğundan a < 0, y eksenini negatif tarafta kestiğinden c < 0, Tepe noktası III. bölgede olduğundan r < 0 ve k < 0, x eksenini (bilgi yelpazesi.net) kesmediğinden  

ar olup, ar >0 olduğundan b < 0. Dolayısıyla altı değerin altısı birden aynı anda sıfır olabilir.

Örnek:

f(x) = x² – (2m + 2)x + m + 6 fonksiyonunun tepe noktası y = –1 doğrusu üzerinde ise m’nin alabileceği değerleri bulunuz.

Çözüm:

Baş katsayı pozitif olduğundan parabolün kolları yukarı olup parabol yukarıdaki gibidir. Tepe noktası da y= -1 doğrusu üstünde olduğundan k= -1'dir.

eşitliği çözülürse (m + 3)(m – 2) = 0 buluruz ki m= –3 veya m = 2 olabilir.

Parabol İle Doğrunun Birbirlerine Göre Durumları:

Aslında sadece parabol ve doğru çifti için değil, denklemleri bilinen herhangi bir geometrik seklin bir diğerine göre konumunu belirlemek için denklemlerini birbirlerine eşitleriz.

Ortaya çıkan denklemin kaç farklı reel kökü varsa, o kadar farklı noktada kesiştiklerini söyleriz.

Bunun mantığı sudur:

Kesişim noktası her iki geometrik seklin de üzerinde olduğundan, her iki geometrik seklin de denklemini sağlıyor olmalı, iste bu yüzden eşitlenen denklemlerden ortaya çıkan denklemin kökü zaten her iki denklemin de köküdür.

Peki, ya o denklemin tek kökü varsa? O zaman tek noktada kesişiyorlardır veya teğetlerdir. Eğer hiç reel kökü yoksa da kesişmiyorlardır.

Toparlayalım:

y = ax² + bx + c parabolünün y = mx + n doğrusuna göre konumunu belirlemek için verilen denklemleri eşitleriz.

ax² + bx + c = mx + n

ax² + (b – m)x + (c – n) = 0

denkleminin diskriminantı

Örnek:

y = 2x² + 5x + 8 parabolü ile y = x + 6 doğrularının birbirlerine göre durumlarını inceleyiniz. Teğetseler degme noktasının, kesişiyorsalar kesim noktalarının koordinatlarını bulunuz.

Çözüm:

2x² + 5x + 8 = x + 6,

2x² + 4x + 2 = 0,

x² + 2x + 1 = 0 = (x + 1)²,

Görüldüğü gibi eşitlenen denklemlerin ortaya çıkardığı denklemin tek kökü var, o halde doğru parabole tek noktada değiyor, yani teğet. x = –1 olduğundan y = –1 + 6 = 5 olduğundan teğet degme noktası koordinatları (–1, 5)’tir.

Örnek:

y = x² + 4x – 11 parabolünün y = 2x – 21 doğrusuna göre konumunu belirleyiniz.

Çözüm:

Her zamanki gibi denklemleri ortak çözeceğiz.

x² + 4x – 11 = 2x – 21, x² + 2x + 10 = 0.

Bu denklemin reel kökü olmadığından doğruyla parabol kesişmezler.

EKLEMEK İSTEDİKLERİNİZ VARSA AŞAĞIDAKİ "Yorum Yaz" kısmına ekleyebilirsiniz.