Eğitim Öğretim İle İlgili Belgeler > Konu Anlatımlı Dersler > Matematik Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar

PARADOKSLAR, ÇEŞİTLERİ, ÖZELLİKLERİ, ÖRNEKLERİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIM (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER, SORULAR)

Paradokslar

Paradokslar, bilinen Batı felsefesinin başlangıcına dayanır.

Batı felsefesi, yani Eski Yunan felsefesinin ilk düşünürleri paradokslarla ilgilenmişlerdir. Birçok paradoks, bu düşünürlerin isimleriyle anılır.

Paradoks sözcüğü Yunanca“Para: İleri”ve“Doxa: düşünce, inanış”sözcüklerinin birleşmesi sonucu oluşmuştur. Bununla birlikte paradoks sözcüğünün sözlük anlamı ise şöyledir:

“Görünüşte yanıltıcı olan insan, şey ya da durumdur. ”

Yukarıda da belirtildiği gibi paradokslar bilinen batı felsefesinin başlangıcına dayanır. Tarih içinde paradoks olduğu iddia edilen ilk örnek Yunan filozof Epimenides’in“Girit’li paradoksu” dur.

Aslında Epimenides’in paradoks olduğunu iddia ettiği önerme bir paradoks değildir. Epimenides “Bütün Giritliler yalancıdır. ”demişti. Bu önermedeki mantık hatasını ilgili bölümde açıklayacağız. Epimenides paradoksu olarak bilinen yukarıdaki önerme paradoks olmasa da Epimenides mantığını geliştiren günümüz filozofları “yalan paradoksları” olarak anılan gerçek paradokslar bulmayı başarmışlardır.

Paradokslar çok uzun yıllardan bu yana olmalarına rağmen matematik dünyası paradoksları 20. Yy da keşfetmiş denilebilir. Çoğu milat öncesine dayanan paradokslar ancak 20 yüzyılın sonlarından itibaren matematik dünyası tarafından tanınmış ve tartışılmaya başlanmıştır. Arada geçen yıllar boyunca paradokslar felsefe dünyasının sadece bir kısmı tarafından tartışılmıştır.

Paradokslar karakterlerindeki farklılıklara göre şu şekilde sınıflandırılabilirler:

·Zeno paradoksları

·Russell paradoksları ( Küme teorileriyle ilgili )

·Epimenides paradoksları( Yalancı paradoksları )

·Sonsuzluk paradoksları

1) Zeno Paradoksları

Zeno, matematik tarihindeki ilk büyük şüphecidir. Paradoksları matematikçileri yıllarca uğraştırmış ve paradokslarının yol açtığı araştırmalar sonucu matematiğin gelişimine büyük katkı yapmıştır.

Zeno’nun doğum ve ölüm tarihleri tam olarak bilinmemektedir. Ancak tahminlere göre Zeno, M. Ö. 495 yılında İtalya’daki bir Yunan kolonisinde doğmuştur.

Doğduğu koloninin ismi Elea olduğundan Elea’lı Zeno olarak bilinir.

Parmenides adında bir filozofun öğrencisi olan Zeno, hocasına M. Ö 449 yılında Atina’ya yapılan bir yolculukta eşlik etmiştir. Bu yolculuğun, Zeno’nun geleceği açısından çok önemli olduğu düşünülmektedir. Elea’ya geri döndüğünde politikaya girmiştir. Bu dönemde şehrin gaddar yöneticisi olan Nearchus’a düzenlenen bir süikastta yer aldığı iddiasıyla tutuklanmıştır. Bu suikasttaki rolü yüzünden öldürülene kadar işkenceye maruz kaldığı ve bu şekilde öldüğü söylenir.

Zeno bir filozof ve mantıkçıydı. Matematikçi değildi. Bilinen tek yapıtı Epicheiremata’dır. Bu eserinde özellikle, hocasının fikirleri ve kendi fikirleri üzerine yazılar bulunmaktadır.

Zeno’nun asıl ünü paradokslarından gelmektedir. Zeno’nun 40’a yakın paradoksu olduğu biliniyor fakat günümüze bunlardan yalnızca 8 tanesi kaldı. Zaten Zeno’nun tek kitabının da tamamı şu anda bulunmamakta. Kitabının bir bölümü günümüze kadar korunabilmiş.

Zeno aslında hocası Parmenides’le aynı görüşlere sahip değildi. Parmenides’in savunduğu felsefe, gerçeğin sadece bir tane ve değişmez olduğunu söylüyordu. Ona gore, hareket, değişim, zaman ve çokluk kavramları küçük birer hayaldiler.

Zeno’nun paradoksları ise bu görüşün tam tersini kabul ederek yazılmışlardı. Zeno’ya gore gerçeklik tek değildi, birçok gerçek olabilirdi, gerçek saçmaydı ve tezatlarla doluydu.

Dichotomy paradoksu: Hareket yoktur. Çünkü bir hareketin olabilmesi için belirli bir zaman diliminde belirli bir mesafenin yapılmış olması gerekir. Bunun için de istenilen mesafenin önce yarısı, sonar kalan mesafenin yarısı, daha sonra kalanın yarısı vb…gidilmesi gerekir. Ancak herzaman gidilmemiş bir “kalan yolun yarısı” olacaktır. Dolayısıyla hareket hiç başlamamıştır.

Tavşan-Kaplumbağa paradoksu: Hareketli bir tavşan hiçbir zaman kendisinden ilerdeki hareketli bir kaplumbağayı yakalayamaz. Çünkü kağlumbağayı yakalaması için öncelikle, seçilen bir anda kaplumbağanın bulunduğu noktaya gelmesi gerekir.

Tavşan o noktaya gelene kadar kaplumbağa biraz daha ilerlemiş olur. Daha sonra ilerideki kaplumbağanın o anda bulunduğu noktaya gidene kadar kaplumbağa biraz daha ilerler. Sonuçta kaplumbağa hareketli olduğundan, tavşan, kaplumbağayı asla yakalayamaz.

Ok paradoksu: Zaman “an” lardan oluşmuştur. “An”zamanın en küçük parçasıdır ve bölünemez. Bir ok hareketli veya hareketsiz olsun, aslında ok hiçbir zaman hareket edemez. Çünkü hareketin gerçekleşmesi için okun bir anın başlangıcında bir noktada, anın sonunda da başka bir noktada olması gerekir. Ancak bunun olması için “an” ın bölünebilir olması gerekir ki bu da tanıma gore mümkün değildir. Dolayısıyla ok aslında hareket etmemiştir.

2) Russell Paradoksları

Küme paradokslarının yaratıcısı ünlü İngiliz düşünür Bertrand Russell’dır.

Russell paradoksu, mantık ve küme teorisi temeline dayanan paradokslar içinde en ünlüsüdür.

Küme teorisi ile ilgili paradoksların yaratıcısı olması sebebiyle bu tarz paradokslara Russell paradoksları denir.

Russell’ın küme paradoksu: Russell’ın küme paradoksu, kendisini eleman olarak içeren ve içermeyen kümelerle ilgilidir. Bunun için öncelikle Greg Cantor’un küme aksiyomunu öğrenelim:

“Serbest değişken olarak x içeren bir P(x) fonksiyonu, bu fonksiyonu sağlayan elemanların oluşturduğu bir küme tanımlar. ”

Russell’ın küme paradoksu yukarıdaki aksiyomla ters düşmektedir.

Russell’ın küme paradoksu şöyledir:

"Çoğu küme, kendisinin elemanı değildir. Yani örneğin tüm kalemlerin kümesi bir kalem değildir. Dolayısıyla kalemler kümesinin bir elemanı olamaz. Bu tarz kümeler için “KEO” kısaltmasını kullanalım.

Bazı kümeler kendisinin elemanıdırlar. Örneğin yukarıdaki kümenin tersini düşünürsek. Kalem olmayan herşeyin kümesi yukarıdaki kümenin tersidir. Kalem olmayan her şeyin kümesi, aynı zamanda kalem olmayan birşey olduğuna göre kalem olmayan her şey kümesinin bir elemanıdır. Yani kendisini elaman olarak içerir. Bu tarz kümeler için “KE” kısaltmasını kullanalım.

Cantor’un küme teorisine ve kabul gören küme teorilerine göre yukarıdaki ik kümenin toplamı herşeyi verir. Yani bir küme ve o kümenin tersinin toplamı, evrensel kümedir. Bu kabulden hareketle tüm kümelerin ya “KEO” ya da “KE” kümelerinin bir (bilgi yelpazesi.net) alt kümesi olması gerekir. Yani daha basit anlatımla herhangi bir küme, ya kendisini eleman olarak içerir ya da içermez. Bu iki olasılıktan başka bir seçenek yoktur. Ancak Russell, bu iki kümenin de elemanı olmayan bir küme göstermiştir.

Şimdi, “TKEO” adında bir küme tanımlayalım. TKEO kümesi, kendisini elaman olarak içermeyen tüm kümelerin kümesi olsun. Bu küme kendisini eleman olarak içermeyen kümelerin kümesi olduğu için kendisini eleman olarak içeremez. Dolayısıyla bu küme “KEO” grubuna aittir. Bu kümenin, kendisini eleman olarak içermeyen kümelerin kümesi olduğunu söylemiştik. O halde, bu kümenin kendisi de kendisini eleman olarak içermediğine göre( bu sonuca bu paragrafın 3. cümlesinde varmıştık) kendisini barındırması gerekir. Yani kendisini eleman olarak içermesi gerekir.

Görüldüğü gibi“TKEO” kümesi hem kendisini elaman olarak içerir hem de içermez.

Oysaki böyle bir küme olamayacağı, yani bir kümenin bu iki kategoriden yalnızca birine ait olabileceğini biliyoruz. Bu durumda ortaya bir paradoks çıkmış oluyor. ”

3) Epiminedes Paradoksları

Yunan düşünür Epimenides yarattığını sandığı paradoks sebebiyle Epimenides paradoksları adı verilen birçok paradoksun bulunmasında birinci sebeptir. Kaldı ki uzun yıllar paradoks olduğu düşünülen “Bütün Giritliler yalancıdır” cümlesi aslında paradoks değildir.

“Bütün Giritliler yalancıdır” cümlesi neden yıllar boyu paradoks olarak algılandı?

Olasılıkları düşünelim:

Birinci olasılığa göre Epimenides doğru söylüyor olsun. Bu durumda bütün Giritliler yalancı olamaz çünkü Epimenides yalancı değildir. ( Doğru söylediği için)

İkinci olasılığa göre Epimenides yalan söylüyor olsun. Bu durumda bütün Giritliler yalancı değildir. Bunu anlamış oluyoruz. Yani bazı Giritliler yalancı bazıları ise yalancı olmayabilir. Eğer Epimenides yalan söylüyorsa kendisi yalancılar grubuna girer geri kalanların bazıları da yalancı olmayanlar grubuna girer. Bu durumda bütün Giritliler yalancı değildir. Ama bazıları yalancı olabilir. ( Epimenides gibi )

Yukarıdaki iki olasılık incelendiğinde ikinci olasılığın bu cümleyi paradoks olmaktan çıkardığını görüyoruz. Bu cümlenin paradoks olarak algılanmasının sebebi ise ikinci olasılığa göre bütün Giritliler’in yalancı olmamasının tüm Giritliler’in doğru sözlü olması olarak algılanmış olmasıdır ki bu yaklaşım yanlıştır. Ancak uzun yıllar sonra bu yaklaşımın yanlış olduğu anlaşılmış ve Epimenides’in önermesinin paradoks olmadığı kesinleşmiştir.

Günümüzde Epimenides’in önermesinden ilham alan düşünür ve matematikçiler Epimenides’inkine benzer gerçek paradokslar bulmuşlardır. Bu paradokslar Epimenides paradoksları olarak bilinir.

“ Bu cümle yanlıştır. ”

Eğer yukarıdaki cümle yanlışsa cümlenin doğru olması gerekirdi, eğer cümle doğru ise cümlenin yanlış olması gerekirdi. Dolayısıyla yukarıdaki paradoks gerçek bir paradokstur

Bir başka paradoks da şöyledir:

Elinizde bir kart olduğunu düşünün. Kartın bir yüzünde şu yazsın:

“Bu kartın diğer tarafında yazan cümle doğrudur. ”

Kartın diğer yüzünde ise şu yazsın:

“Bu kartın diğer tarafında yazan cümle yanlıştır. ”

Okuduğunuz ince bir Türkçe kitap düşünün ve aşağıdaki yargılara bir göz atın;

1. BBu kitap 597 sayfadır.

2. BBu kitabın yazarı Conficius’dur.

3. BBurada belirtilen 1, 2 ve 3 önermeleri yanlıştır.

4) Sonsuzluk Paradoksları

Hilbert’in Otel Paradoksu: Sonlu sayıda odası olan ve tüm odaları dolu olan bir otel düşünün. Bu durumda bir müşteri otel görevlisine oda istediğini söylediğinde görevli yeri olmadığını söyler.

Şimdi de sonsuz sayıda odası olan bir otel düşünün. Tüm odalar dolu olsun. Bu otele yeni bir müşteri gelip oda istediğinde acaba görevli aynı şekilde tüm odalarının dolu olduğunu mu söyleyecektir? Hayır. Görevli müşteriye 1 nolu odaya geçmesini söyleyebilir. Görevli 1 numaralı odadaki müşteriyi 2 numaralı odaya, 2 numaralı odadaki müşteriyi 3 numaralı odaya yerleştirir ve bu böylece sürüp gider. Sonuçta 1 numaralı oda boş kalmış olur.

"Sonsuz sayıda odası olan ve tüm odaları dolu olan bir otel düşünün. Yukarıdaki örnekten farklı olarak bu durumda bir müşteri değil, sonsuz sayıda müşteri gelsin.

Görevli, sonsuz sayıdaki müşteriye de yer bulabilir. N1 odasındaki müşteriyi N2 odasına, N2 odasındakini N4 odasına, N3 odasındakini N6 odasına gönderir. Bu işlemi tüm odalar için yapar. Sonuçta tüm tek sayıdaki odalar boş kalacağı içinsonsuz sayıdaki müşteri odalara yerleşebilir. "

Örnekler:

'Bu cümleyi okumayın!'

Yukarıdaki cümleyi okuduğunuza göre paradoksa uğramış oldunuz.

' Tek kelime dahi Türkçe bilmiyorum!'

- Beni duyabiliyor musun?

- Hayır. Sesin gelmiyor (!)

- Niçin her soruma soru ile cevap veriyorsun?

- Niçin vermeyeyim ki !?

Memleketimizde bazı yer adları, kendisi ile çelişir:

Bakırköy: Adı "köy" olmasına rağmen ilçedir. Hem de yaklaşık 50 vilayetten bile

büyük bir ilçe.

Viranşehir: "Şehir" değil, Ş.urfa'nın bir ilçesidir.

Kuşadası: "Ada" değildir.

Denizli: Denizli'de deniz yoktur.

Elmadağ, Kadifekale, Akdeniz, Gümüşhane...vs.

-"Söylediğin her şey doğru mu?"

-"Hayır!"

Bu adam güvenilir biri midir? Önce fikir yürütelim:

"Hayır" dediğine göre arada bir yanlış(yalan) söylüyor demektir. Arada bir yanlış konuşuyorsa

"hayır" dediği de yanlış veya yalan olabilir. O zaman "hayır", "evet" olur. Bu sefer de "evet" diyorsa,

her söylediği doğru olduğundan "hayır" da doğrudur... İyisi mi bu adama pek itimat etmeyelim...

Bir otobüs ilanı:

-"Okuma-yazma öğrenmek isteyenlere müjde! Hemen aşağıdaki adrese

başvurun..."

Okuma-yazma bilmeyen bir insan nasıl bu ilanı okuyacak! Okusa zaten o adrese

başvurması gerekmez...

Bir adam, saçları döküldüğü için doktora gider. doktor, teşhisi koyar: Stres!

Ama adam saçları döküldüğü için strese girmektedir. Strese girdikçe daha da fazla

dökülmektedir. Daha da fazla döküldükçe de, stresi aynı hızla artmaktadır...

Ben her zaman yalan söylerim. EMRE TURUNCU'dan

BU CÜMLEDEKİ HARF SAYISI OTUZYEDİ DEĞİLDİR. (37 Harf var)

Alaaddin'in sihirli lambasından çıkan cini herkes bilir. Cin diyor ki:

-Dile benden ne dilersen. Unutma ki sadece 'bir' dilek hakkın var ve mutlaka yerine

gelecek.

Siz olsanız ne isterdiniz? Alaaddin öyle bir istekte bulunuyor ki cin ne yapacağını

şaşırıyor:

-Benim tüm dileklerimi yerine getir!

SOCRATES'ten:

"Bildiğim tek şey var; o da hiç bir şey bilmediğim."

Bazı hayvan isimleri, insanlar için sıfat olarak kullanıldıklarında iltifat kabul edilir:

Aslanım benim!

Koç gibi maşallah!

Tilki gibisin abi!

Bazı hayvan isimleri ise hakaret anlamına gelir:

Çok inek bir arkadaş!

Ayı mısın be birader! (Ayı, bazı ülkelerde iltifattır)

Öküz öküz bakma!

Sonuçta hayvan, hayvandır:)